Sind bei den Feuerbachpunkten und den Eulerpunkten auf und in einem beliebigen Dreieck mathematische Gesetzmäßigkeiten zu entdecken? Welche sind es? Welche Systematik lässt sich herauslesen? Haben die Vermutungen und Entdeckungen mathematischen Bestand?Der Blick auf die Feuerbachpunkte, die auf und in einem beliebigen Dreieck liegen, führt zu vertiefenden durch Entdeckung gewonnenen geometrischen Vermutungen und Erkenntnissen, die durch die Behandlung von drei verschiedenen Beweistypen, abbildungsgeometrisch, kinematisch und ?elementar?, begründet werden können. Es bietet sich an, diese mit einer dynamischen Geometriesoftware, hier GeoGebra, nachzukonstruieren und zu beweisen. Das Konzept lässt sich aber auch ohne den Einsatz Dynamischer Mathematiksoftware durchführen. Behandlung des Feuerbachkreises Den Feuerbachkreis kann man im Unterricht auf unterschiedliche Art behandeln: Der Feuerbachkreis eines Dreiecks berührt seine drei Ankreise und seinen Innenkreis. Der Feuerbachkreis kann als geometrischer Ort definiert werden. Der Zusammenhang des durch die Feuerbachpunkte belegten Feuerbachkreises mit einem Dreieck und seinem Umkreis können untersucht werden. Formulierung und Beweis des Feuerbachsatzes Die zweite und dritte Alternative werden hier vorgestellt. Durch die Vorgabe der Feuerbachpunkte und der Eulerpunkte eines Dreiecks mit seinem Umkreis (Datei: "feuerbach-Euler-Punkte.ggb") wird eine offene Situation geschaffen, in der überraschende Entdeckungen gemacht und vielseitige Vermutungen aufgestellt werden können. Möglich - aber nicht erforderlich - ist es, die Eulerpunkte vorher behandelt zu haben. Die Vermutungen und Entdeckungen führen auf die Formulierung des Feuerbachsatzes, den es zu beweisen gilt. Je nach den Ideen der Schülerinnen und Schüler führt dies zu einem abbildungsgeometrischen, kinematischen und / oder "elementaren" Beweis. Das soll offen gelassen werden. Man kann sich mit der Behandlung eines Beweistyps begnügen. Bei unterschiedlichen Beweisansätzen der Lernenden können sich auch Schülergruppen bilden, die jeweils einen Beweistyp weiter verfolgen, erarbeiten und vorführen. Das Projekt wurde mit begabten Schülerinnen und Schülern in Jahrgangsstufe 8/9 erfolgreich durchgeführt und bei der MNU-Tagung in Köln 2008 von den Lernenden vorgestellt. Hinweis zum Unterrichtsverlauf und Materialien Die Unterrichtseinheit besteht aus drei Teilen: 1. Entdeckung an den Feuerbachpunkten und Formulierung des Satzes über den Feuerbachkreis, 2. Vorbereitung der Beweise, 3. Beweis des Satzes über den Feuerbachkreis. Die Schülerinnen und Schüler sollen Muster und Beziehungen bei den Feuerbachpunkten untersuchen und Vermutungen aufstellen (Lage auf einem Kreis, mathematische Eigenschaften der Punkte). geeignete Werkzeuge zum Erkunden und zur Festigung ihrer Vermutungen wählen (Bleistift und Papier, Dynamische Geometriesoftware). jeweils gleiche Probleme (Höhenfußpunkte, Seitenmitten und Höhenabschnitte) in Teilprobleme zerlegen. aus der Lage der Feuerbachpunkte ihre geometrischen Eigenschaften im Zusammenhang von Vielecken (Dreiecken, Vierecken) und Kreisen (Umkreis, Feuerbachkreis) erkennen (unter anderem elementare geometrische Eigenschaften, Ähnlichkeitsbeziehungen, geometrischer Ort) und diese im Rahmen des Problemlösens zur Begründung der Sachzusammenhänge nutzen. Lösungsansätze vergleichen und bewerten und bei gleichen Lösungsansätzen Beweise in Gruppenarbeit entwickeln (abbildungsgeometrisch, elementar, kinematisch). Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen in kurzen vorbereiteten Beiträgen präsentieren. Thema Mathematische Zusammenhänge an den Feuerbachpunkten entdecken Autor Wolfgang Piechatzek Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 8-9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG Zeitraum 6-8 Zeitstunden Technische Voraussetzungen Je ein Computer für 1-2 Lernende, es reicht auch ein Präsentationsrechner mit Beameranschluss; gegebenenfalls Dynamische Geometriesoftware ( GeoGebra , kostenfrei) Im ersten Teil der Unterrichtsreihe (zwei Stunden) sollen die Schülerinnen und Schüler (gegebenenfalls mithilfe einer Dynamischen Geometriesoftware, hier GeoGebra) die Gesetzmäßigkeiten der Lage der Feuerbachpunkte und der Eulerpunkte (Abb. 1) entdecken und formulieren. Die neun Feuerbachpunkte liegen vermutlich auf einem Kreis, dem Feuerbachkreis. Jeweils drei Punkte haben die gleiche Eigenschaft: Drei Punkte liegen auf den Seitenmitten. Drei Punkte liegen auf den Höhenfußpunkten. Drei Punkte liegen auf den Mitten zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks. Damit lässt sich die Aussage des Satzes von Feuerbach formulieren. Abb. 1a (Screenshot der GeoGebra-Datei "feuerbach_euler_punkte.ggb") zeigt alle Feuerbachpunkte und die Punkte zur Eulergeraden, wie sie den Schülerinnen und Schülern vorgelegt wird. Außerdem gibt es noch vier Punkte, die auf einer Geraden liegen, der Eulergeraden (Abb. 1b, Screenshot der GeoGebra-Datei "euler_gerade.ggb"). Suche nach Beweisansätze in Arbeitsgruppen Im zweiten Teil der Unterrichtsreihe (eine Stunde) wird nach Beweisansätzen gesucht. Die Klassifizierung der Punkte (Seitenmitten, Höhenfußpunkte, Punkte auf den Mitten zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks) führt nicht direkt weiter, da die dadurch entstandenen Kreise nicht identisch sein müssen. Abb. 2 (Screenshot der Datei "loesung_feuerbach_euler_punkte.ggb") zeigt, wie die Schülerinnen und Schüler mit Bleistift und Papier oder mit GeoGebra die Feuerbachpunkte konstruieren und somit den mathematischen Hintergrund entdecken können. Sinnvolle "regelmäßige" Figuren sind meist Hilfen für einen Beweisansatz in Geometrie. Deshalb suchen die Schülerinnen und Schüler nach weiteren sinnvollen Figuren innerhalb der Feuerbachpunkte, die für einen Beweis nützlich sein könnten [Abb. 3: Screenshots der Dateien "(MaMbMc)abb.ggb" und "(A'B'C')abb.ggb"; Abb. 4: "beweis_feuerbach_kreis.ggb"]. Einsatz der Materialien Die Unterrichtsreihe soll für die Schülerinnen und Schüler ganz offen gelassen werden, das heißt, die Arbeitsmaterialien müssen in einer starken Lerngruppe gar nicht zum Einsatz kommen. Die Materialien haben zwei Funktionen: Sie dienen zur Information der Lehrperson und kommen dann zum Einsatz (gegebenenfalls nach Entscheidung der Lehrperson auch nur Teile des Materials), wenn die Schülerinnen und Schüler nicht weiter kommen. Ebenso ist mit den vorgegebenen Lösungsansätzen zu verfahren. Will man alle Beweisideen weitertreiben, können entsprechende Arbeitsgruppen gebildet werden. 1. Materialien zur Vorbereitung des abbildungsgeometrischen Beweises Die Lernenden können spezielle Vielecke entdecken, die sich aus Feuerbachpunkten zusammensetzen. Das können zum Ursprungsdreieck ähnliche Dreiecke sein, Rechtecke oder Parallelogramme. Ähnliche Dreiecke führen auf einen abbildungsgeometrischen Beweis. 2. Materialien zur Vorbereitung des elementargeometrischen Beweises Rechtecke oder Parallelogramme führen auf einen elementaren Beweis. (Von den Parallelogrammen ist wegen der Komplexität des Beweises abzuraten.) 3. Materialien zur Vorbereitung des kinematischen Beweises Weiterhin kann eine Gruppe gebildet werden, die sich ein bewegtes GIF (2_2_animation_gross.gif) anschaut, das auf die Definition des Geometrischen Ortes des Feuerbachkreises und einen kinematischen Beweis führt. Beweis und Präsentation Die Beweise werden eigenständig oder auf der Grundlage der Arbeitsmaterialien in Gruppen erarbeitet (zwei bis drei Stunden) und präsentiert (ein bis zwei Stunden).