Die Schülerinnen und Schüler untersuchen interaktiv die Gesetze der reibungsfreien Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn bei unterschiedlicher Gesamtenergie - vom Fadenpendel bis zum Looping.Winkelkoordinate, -geschwindigkeit und -beschleunigung sowie die aufzuwendende Radialkraft sind in einem Excel-Diagramm als Funktion der Zeit grafisch dargestellt. Durch kontinuierliche Veränderung des Parameters E (Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) können die Diagramme dynamisch verformt und so die verschiedenen Bewegungsarten von der harmonischen Schwingung bis zum Looping beobachtet und analysiert werden. Die numerisch nach dem Halbschrittverfahren berechneten Diagramme, die man sonst im Unterricht und in der Literatur selten zu sehen bekommt, bieten einen beziehungsreichen Zugang zu vielen Aspekten der für die Jahrgangsstufe 11 vorgesehenen Lerninhalte.Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Rechner. Zentrales Medium ist neben der Excel-Datei das bereitgestellte Arbeitsblatt mit detaillierten Arbeitsaufträgen. Diese können je nach Intention und Umfang der Unterrichtseinheit auch nur teilweise eingesetzt oder auf verschiedene Abschnitte des Lehrplans verteilt werden. Wegen der Vielfalt der angesprochenen Themen (harmonische Schwingung, Energiesatz, beschleunigte Kreisbewegung, Kräftezerlegung, Newton'sche Grundgleichung F = ma und ihre prinzipielle Bedeutung für die Berechnung von Bewegungen) eignet sich das Material besonders zur vertiefenden Wiederholung oder für ein Projekt, in dem auch das numerische Verfahren und/oder fortgeschrittene Excel-Anwendungen thematisiert werden. Theoretischer Hintergrund, Realisierung in Excel, Einsatz des Materials im Unterricht Die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit der oben genannten kinematischen Größen mithilfe einer Excel-Tabelle bringt eine Reihe neuer Aspekte in den Unterricht, die hier erläutert werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Diagramme physikalisch interpretieren und darüber sachgerecht kommunizieren. die Gesetze der Kinematik, insbesondere der harmonischen Schwingung und der Kreisbewegung, den Energiesatz und das Prinzip der Kräftezerlegung anwenden. die Grenzen analytischer Methoden und den Vorteil numerischer Lösungen erfahren. das Halbschrittverfahren analysieren (optional). fortgeschrittene Anwendungen in Excel praktizieren (optional). Thema Vom Fadenpendel bis zum Looping - Bewegung auf einer vertikalen Kreisbahn mit Excel Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fächer Physik oder fächerübergreifendes Projekt (Physik/Informatik) Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3-6 Stunden Technische Voraussetzungen je 1 Rechner für 1-2 Lernende Software Microsoft Excel, ergänzend für die Lehrkraft: GeoGebra (kostenfreie Software) [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft Die Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn unter dem Einfluss der Erdanziehung (zum Beispiel in einer kreisförmigen Loopingbahn oder an einem Seil) wird im Unterricht gern als Anwendung der Gesetze der Kreisbewegung und des Energiesatzes behandelt. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft lassen sich in Abhängigkeit von der jeweiligen Position damit leicht berechnen. Zeitlicher Verlauf der kinematischen Größen Schwieriger ist die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit dieser Größen: Durch Zerlegung des Gewichts in eine radiale und eine tangentiale Komponente erhält man aus der Newton'schen Grundgleichung F = ma die Differenzialgleichung phi'' = -(g/r) sin(phi) für die gegen die Vertikale gemessene Winkelkoordinate phi . Die analytische Lösung führt auf ein elliptisches Integral, das nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist [1]. Es muss daher ein numerisches Verfahren angewendet werden, um den zeitlichen Verlauf der kinematischen Größen im Diagramm darzustellen. Dies geschieht hier mithilfe des Halbschrittverfahrens, das zum Beispiel in [2] kurz beschrieben wird. Neben der Darstellung der kinematischen Größen in Diagrammen liefert dieses Verfahren auch eine numerische Bestimmung der Periodendauer T . Zusatzmaterial für Lehrpersonen Das "klassische" Berechnungsverfahren nach [1] kann mithilfe der GeoGebra-Datei "numerische_integration.ggb" nachvollzogen werden. Diagramme Die zum Download bereit gestellte Datei "vertikale_kreisbahn.xls" enthält die beiden Tabellenblätter "Diagramme" und "Berechnung". Bei den Diagrammen befindet sich ein Schieberegler, mit dem die Gesamtenergie E kontinuierlich von 0 bis 10 mgr verändert werden kann. Dieser Wert wird in der Berechnungstabelle übernommen. Der Kreisradius r ist auf 1 gesetzt und sollte nicht verändert werden. Die Schrittweite Delta_t des Halbschrittverfahrens ist auf vier Millisekunden voreingestellt. Sie kann nach Aufhebung des Blattschutzes verändert werden, um die Genauigkeit des Verfahrens zu analysieren. Berechnungstabelle Die eigentliche Berechnungstabelle enthält die Zeit t , die Winkelkoordinate phi , die Winkelgeschwindigkeit omega , die Winkelbeschleunigung alpha und die aufzuwendende Radialkraft, hier als Seilkraft F_Seil bezeichnet, die jedoch bei positivem Vorzeichen als nach außen gerichtete Stützkraft (zum Beispiel durch eine dünne Stange) interpretiert werden muss. Zusätzlich werden zur Darstellung der Bewegung für einige ausgewählte Punkte die kartesischen Koordinaten x und y berechnet. Berechnung und Visualisierung Für die Anfangsposition phi = 0 erhält man die Winkelgeschwindigkeit omega aus der Energie. Die übrigen Größen können aus phi direkt berechnet werden. Sodann werden sukzessive nach dem Halbschrittverfahren die nächsten Werte von omega und von phi und damit dann wieder die weiteren Größen berechnet. Es werden 750 Rechenschritte durchgeführt, so dass der Bewegungsverlauf während der ersten drei Sekunden in den auf der Tabelle basierenden Diagrammen dargestellt werden kann. Dies reicht für die Diskussion völlig aus. Die interaktive Arbeit mit den Diagrammen wird durch die Arbeitsaufträge in der Datei "vertikale_kreisbewegung.pdf" strukturiert. Den wesentlichen Teil bilden die Aufgaben zum physikalischen Inhalt: Die kontinuierliche Verformung der Kurven durch die Veränderung der Gesamtenergie E lässt sehr schön erkennen, wie sich aus einer anfänglich harmonischen Pendelschwingung ( E < < mgr ) allmählich eine nicht-harmonische Schwingung mit wachsender Periodendauer T entwickelt. wie für Ausschläge über 90 Grad die erforderliche Radialkraft das Vorzeichen wechselt (bei mgr < E < 2,5 mgr ). wie die Bewegung bei E = 2 mgr aus der Schwingung in einen Looping übergeht und dann für wachsende Werte von E bei abnehmender Umlaufzeit einer gleichförmigen Kreisbewegung immer ähnlicher wird. Die Arbeitsaufträge verlangen eine detaillierte Beschreibung und Interpretation dieser Beobachtungen. Daneben sind herkömmliche Aufgaben in das Arbeitsblatt integriert (Energiesatz, Kräfte bei der Kreisbewegung, harmonische Schwingung et cetera). Optional können zusätzliche Arbeitsaufträge zum Halbschrittverfahren und zu Excel zum Einsatz kommen. Letztere setzen fortgeschrittene Kenntnisse in Excel voraus und sind gegebenenfalls in einem fächerübergreifenden Projekt (Physik/Informatik) anzusiedeln. Während im physikalischen Teil nur mit den Diagrammen gearbeitet wird, werden hier Eingriffe in die Berechnungstabelle vorgenommen. Dazu empfiehlt es sich, vorher eine Kopie der Datei "vertikale_kreisbewegung.xls" anzufertigen, für die dann der Schreibschutz aufgehoben wird. [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007