Die barometrische Höhenformel, das Bevölkerungswachstum und der Zerfall von Bierschaum: Als Einstieg in diese Unterrichtseinheit wurden Wachstums- und Zerfallsvorgänge durch die Behandlung von anwendungsorientierten und alltagsbezogenen Aufgaben aufgegriffen. Dies diente zum einen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler lernten und übten, Funktionsterme für Exponentialfunktionen aufzustellen. Zum anderen sollten sie erkennen, welche Bedeutung der Wachstumsfaktor und der Streckfaktor für den Grafen einer Exponentialfunktion haben.
Einführung der Eulerschen Zahl
Unterrichtseinheit
In dieser Unterrichtseinheit zur Einführung der Eulerschen Zahl bestimmen und begründen die Schülerinnen und Schüler mithilfe eines Java-Applets und rechnerischer Umformungen die Ableitung der Exponentialfunktion analytisch und zugleich anschaulich.
- Mathematik / Rechnen & Logik
- Sekundarstufe II
- 2–3 Unterrichtsstunden
- Arbeitsblatt, Didaktik/Methodik
- 1 Arbeitsmaterial
Beschreibung der Unterrichtseinheit
Didaktisch-methodischer Kommentar
Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei".
- "Geh weg oder ich differenzier dich!"
Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e".
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Unterrichtsmaterial "Einführung der Eulersche Zahl" zum Download
- eulersche_zahl_arbeitsblatt.pdf
Die Lernenden bestimmen die Ableitungen vorgegebener Exponentialfunktionen (idealerweise TI-83, CAS), zeichnen die Ableitungsgrafen in Koordinatensysteme ein und beschreiben, wie sie sich von den Ausgangsgrafen unterscheiden. Die Grafiken wurden mit TI-Interactive erzeugt.
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Vermittelte Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler
- können für Exponentialfunktionen der Form f(x) = cax anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen.
- können den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern.
- können analytisch und geometrisch begründen, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss.
- können eine geeignete Basis a bestimmen, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt.
- kennen die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion.
Externe Links
- mathe-online.at
Das verwendete Applet ist bei "mathe online", einer Fundgrube für Lehrerinnen und Lehrer, in weitere Informationen zu Exponentialfunktionen eingebettet.
