Beschreibung der Unterrichtseinheit
Räumliche Dimensionen jenseits der drei erfahrbaren beflügeln unsere Phantasie, strapazieren aber die Vorstellungskraft. Dabei ist es aber eben nicht Sache des Vorstellungsvermögens, sondern eines Vollzugs mathematischer Verallgemeinerung, Objekte in mehr als den drei uns geläufigen Dimensionen zu beschreiben.
In den BLK-Bildungsstandards sind mathematische Kompetenzen zu drei Anforderungsbereichen definiert: "Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern und Reflektieren." Im Hessischen Lehrplan (Mathematik für Erwachsenenschulen) ist zu lesen: "Charakteristisch für die Mathematik ist die stetige Suche nach Verallgemeinerung und begrifflicher Fundierung ... ". Die Verallgemeinerung ist Methode und Ziel der Mathematik. Ein Beispiel dafür, wie sie zu bedeutsamen Entdeckungen geführt hat, ist der so genannte letzte Satz Fermats (behauptet 1637, bewiesen 1993), der auf der Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras beruht. Das hier vorgestellte Projekt zum Vorstoß in die vierte Dimension ist für leistungsstarke und besonders interessierte Schülerinnen und Schüler konzipiert.
Didaktisch-methodischer Kommentar
Voraussetzungen
Für den Umgang mit den im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" dargestellten Befehlssätzen müssen Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Wertzuweisung, Prozedurdefinition und -aufruf, Grafikkommandos). Eine elementare Einführung in die Handhabung des Computeralgebrasystems MuPAD bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Der Umgang mit Vektoren und Matrizen sollte geläufig sein.
Die Technik des Verallgemeinerns
Die Beschäftigung mit dem Hyperwürfel - einem "Würfel" aus der vierten Dimension - gibt vor allem Gelegenheit, die mathematische Technik des Verallgemeinerns im Übergang von R1, R2 und R3 zum R4 konkret nachzuvollziehen. Das hier vorgestellte Projekt nimmt direkten Bezug auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit zur Zentralprojektion.
Vierdimensionale Objekte und ihre Eigenschaften
Expedition in den "großen Garten der Geometrie"
"Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken." Dieser Satz von David Hilbert (1862-1943) verspricht neben der Freude an der Geometrie auch einen Reichtum an Themen, die sich bei Ausflügen in diesen Garten erschließen und die in der Schule ein projektorientiertes Vorgehen nahe legen. Die Darstellungen im MuPAD-Notebook "hyperwuerfel.mn" sind gedacht als Impuls für ein selbstgesteuertes, tieferes Eindringen in die Beschreibung vierdimensionaler Objekte und deren Eigenschaften. Wegen der Herausforderung, die diese Thematik mit sich bringt, werden anstelle konkreter Aufgabenstellungen Projektvorschläge formuliert - dies auch unter dem Aspekt des damit verbundenen Arbeitsaufwands.
Impuls mit Salvador Dali
Die Begegnung mit dem Objekt dieser Unterrichtseinheit, dem Hyperwürfel, wird initiiert durch die Vorstellung des Gemäldes "Corpus Hypercubus" (Abb. 1, rechts) von Salvador Dali (1904-1989), der gesagt hat: "Mein ganzer Ehrgeiz auf dem Gebiet der Malerei besteht darin, die Vorstellungsbilder der konkreten Irrationalität mit der herrschsüchtigsten Genauigkeit sinnfällig zu machen." In diesem Satz deutet sich Dalis obsessiver Ehrgeiz an, durch technische Meisterschaft Welten auf der Leinwand geradezu zu erschaffen. Er hat sich an anaglyphen und anamorphen Darstellungen erfolgreich versucht und hätte allzu gern die Grenzen der Dreidimensionalität überschritten. Sein "Corpus Hypercubus" fällt in eine "nukleare Mystik" genannte Schaffensperiode.
Der Hyperwürfel als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche
Wieder einmal erschließt sich in dem Gemälde Dalis eine Beziehung zwischen religiöser Mystik und Mathematik und erinnert an die Aussage des Nicolaus von Cues (1401-1464): "Können wir uns dem Göttlichen auf keinem anderen Wege als durch Symbole nähern, so werden wir uns am passendsten der mathematischen Symbole bedienen, denn diese besitzen unzerstörbare Gewissheit." Dalis Verwendung der dreidimensionalen Abwicklung des vierdimensionalen Hyperwürfels als Symbol für das Jenseitige oder Göttliche ist geradezu sophistisch: Diese Abwicklung vollzieht sich im R4, lediglich das Ergebnis wird im R3sichtbar. Die Abwicklung selbst ist also nie unmittelbar zu beobachten, lässt sich nur letztendlich ebenfalls "metaphorisch", mittelbar erschließen - durch Vergleich mit der Abwicklung des dreidimensionalen Würfels in den R2 oder durch Projektion seiner Abwicklung in den R3.
Beschreibung des Hyperwürfels
Durch den Vergleich von Strecke, Quadrat und Würfel (Objekte in R2, R3 und R4) und durch den Versuch, die Frage zu beantworten, was mit jeder Dimension "dazukommt", sowie durch Abzählung der geometrischen Elemente der Figuren, wird zu einer Beschreibung des Hyperwürfels und seiner Eigenschaften hingeführt. Der durch Ortsvektoren seiner Eckpunkte und durch die Aufzählung seiner Kanten repräsentierte Hyperwürfel wird einer Zentralprojektion aus dem R4 in den R3 unterzogen. Um den Unterricht nicht durch neue, für den R4 eigenständige Begriffsdefinitionen zu komplizieren, wird hier mit analogen Begriffen gearbeitet. Zum Beispiel wird der Begriff Augpunkt beibehalten, der Begriff Projektionsebene durch den Begriff Projektionsraum ersetzt.
