Von Kegeln zu höheren algebraischen Kurven und zurück

Mathematik
Sekundarstufe II
4-6 Stunden
Arbeitsblatt, Arbeitsblatt interaktiv
1 Arbeitsmaterial

Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine harmlos erscheinende Aufgabe, in deren Zentrum die Maximierung eines Kegelvolumens steht. Das Problem wird zunächst praktisch, dann theoretisch angegangen und entwickelt sich schließlich zu einer verblüffenden Fundgrube von geometrischen Zusammenhängen. Im Laufe der Beschäftigung mit den verschiedenen Aspekten des Themas ergeben sich anspruchsvolle Fragestellungen.

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen.

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen.

Materialien und Literatur
Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple

Download

Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können.
einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können.
ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können.
selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren.
in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen.
weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Internetadressen

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

Thema	Von Kegeln zu höheren algebraischen Kurven und wieder zurück
Autor	Prof. Dr. Matthias Brandl
Fach	Mathematik
Zielgruppe	ab Jahrgangsstufe 11; begabte Schülergruppen, "Pluskurse", Projektarbeit, AGs
Zeitraum	4-6 Stunden
Technische Voraussetzungen	vor allem im zweiten Teil: möglichst ein Computer pro Person
Software	CAS (zum Beispiel Maple oder die Open-Source-Software Maxima), Dynamische Geometriesoftware (zum Beispiel GEONExT oder GeoGebra)