Hinweise zum Einsatz der Materialien im Unterricht

  • Mathematik
  • Sekundarstufe I
  • variabel
  • Ablaufplan

Anhand der fiktiven Aufgabe, die Produktion von DVDs zu optimieren, werden mithilfe von dynamischen Baumdiagrammen die Pfadregeln erläutert.

Beschreibung der Unterrichtseinheit

Da die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der der Sekundarstufe I nur rudimentär oder auch gar nicht unterrichtet wird, wird der Jahrgangsstufe 11 oft ein ?Crash-Kurs? verschrieben, der alle Schülerinnen und Schüler auf den gleichen Stand bringen soll - in Zeiten des Zentralabiturs eine notwendige und sinnvolle Maßnahme. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit zeigt, wie Schülerinnen und Schüler im Rahmen eines solchen Crash-Kurses die Pfadregeln dynamisch herleiten und erschließen können.

Aufgabenstellung

Die Einstiegsaufgabe lautete wie folgt: "Der größte DVD-Produzent auf dem deutschen Markt will seine Produktion optimieren. Dazu soll insbesondere weniger Ausschussware produziert werden. Stellen Sie fest, wie viel Prozent der täglichen Produktion als Ausschuss gilt. Erläutern Sie, wie der Produktionsprozess optimiert werden kann."

Mögliche Rechenwege

Das Gesetz der großen Zahl

Zum Einstieg beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit mit der Aufgabenstellung. Das anschließende Unterrichtsgespräch führt zu dem Ergebnis, dass man zunächst die relative Häufigkeit an Ausschussware pro Tag über einen Zeitraum von zum Beispiel vier Wochen bestimmt. Nach dem empirischen Gesetz der großen Zahl entspricht die relative Häufigkeit bei einem großen Stichprobenumfang der gesuchten Wahrscheinlichkeit. An dieser Stelle ist es notwendig, auf das Empirische Gesetz der großen Zahl zurückzugreifen und bereits Bekanntes mit Neuem zu verknüpfen.

Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit

Um den Produktionsprozess zu optimieren, haben sich die Schülerinnen und Schüler wie folgt geäußert: Nachdem man die Wahrscheinlichkeit für die Produktion von Ausschussware ermittelt hat, müsse man mithilfe eines geeigneten Zufallsversuches die tägliche Ausschussrate ermitteln. Zum Beispiel könne man die Wahrscheinlichkeit für die Produktion fehlerfreier DVDs berechnen. Die Gegenwahrscheinlichkeit sei dann die Wahrscheinlichkeit für Ausschussware. Einziges Problem sei hier der Stichprobenumfang.

Einsatz des dynamischen Arbeitsblattes

Einfache Einführung

Um das Problem zu lösen und die Pfadregeln herzuleiten, haben sich die Schülerinnen und Schüler in Partnerarbeit mit dem interaktiven Online-Arbeitsblatt "Fehlerfreie DVDs" beschäftigt. Die Bearbeitung des Online-Arbeitsblattes verlief auch ohne Einführung in GeoGebra insgesamt gut. Nur wenige Schülerinnen und Schüler hatten Probleme mit dem Einstellen der Schieberegler. Das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten am Ende des jeweiligen Pfades und damit die Anwendung der Pfadmultiplikationsregel hat bei einigen Schülerinnen und Schülern länger gedauert als erwartet. Oft wurde viel komplizierter gedacht und nach einem höheren Schwierigkeitsgrad gesucht. So war häufig zu hören: "So einfach ist das! Man hat also einfach nur multipliziert?" Die Herleitung der Pfadadditionsregel funktionierte dagegen reibungslos.

Ausprobieren

Zur Veranschaulichung und Kontrolle der hergeleiteten Regeln haben die Schülerinnen und Schüler verschiedene Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Schieberegler eingestellt. In allen Fällen wurde die Regel bestätigt. In dieser Unterrichtseinheit konnten die Lernenden also ausprobieren, falsifizieren und verifizieren. Dabei beteiligten sich auch zuvor träge und desinteressierte Schülerinnen und Schüler an den Diskussionen und lieferten sehr gute Lösungsansätze.

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Autorin
Avatar Sandra Schmidtpott

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