Zu Beginn des Unterrichts wird zunächst auf grundlegende mathematische Kenntnisse aus dem Bereich der Flächenberechnung zurückgegriffen, mit deren Hilfe dreieckige Flächengrößen ermittelt werden. Durch eine gezielte Anweisung zur Berechnung der bestimmten Integrale können die Schülerinnen und Schüler schließlich eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße formulieren. Im Rahmen der Flächenberechnung eines nicht linear umrandeten Blumenbeetes erfolgt anschließend die Verallgemeinerung der Thematik auf nichtlineare Funktionen. Dabei wird der Schwerpunkt auf die Visualisierung gelegt, um den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und Integration zu verdeutlichen. Auf dessen konkrete mathematische Herleitung wird jedoch verzichtet. Dies kommt dem Unterricht in Grundkursen und Lernenden mit schwächerem Leistungsniveau entgegen.
Flächenberechnung mit TurboPlot
Die Schülerinnen und Schüler entdecken in einer Doppelstunde am Beispiel der Berechnung von Blumenbeetgrößen den Zusammenhang zwischen Flächengrößen und dem Verfahren der Integration. Da die Berechnung verschiedener Ober- und Untersummen arbeits- und zeitintensiv ist, wird bei der Visualisierung die kostenlose Software TurboPlot als „Zeichenknecht“ eingesetzt.
- Mathematik / Rechnen & Logik
- Sekundarstufe II
- 2 Unterrichtsstunden
- Ablaufplan, Arbeitsblatt
- 2 Arbeitsmaterialien
Beschreibung der Unterrichtseinheit
Unterrichtsablauf
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Problemstellung / Motivation
Problemsituation: Im Schlosspark sollen drei Blumenbeete angelegt werden.
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Problemdefinition I
Zum Anbau der Blumen sind die Flächengrößen zu berechnen.
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Logische Erarbeitung I
Berechnung der Dreiecksflächen.
Integration der gegebenen Funktionen.
Erste Vermutung bezüglich des Zusammenhangs zwischen Fläche und Integral.
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Präsentation I
Ergebnisse der Gruppenarbeiten:
Größen der Dreiecksflächen,
Vermutungen der Gruppen
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Problemdefinition II
Die Fläche des verbleibenden dritten (parabelförmigen) Beetes soll möglichst genau berechnet werden.
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Spontane Verarbeitung II
Darstellungsmöglichkeit des Randes durch eine quadratische Funktion.
Funktionsvorschrift der Parabel.
Bestimmtes Integral der zugehörigen Funktion.
Vermutung über Flächeninhalt.
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Sicherung / Verallgemeinerung
Allgemeine Formulierung des Zusammenhangs und mathematische Schreibweise
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Verallgemeinerung
Systematik der Bildung von Unter- und Obersummen anhand einer Funktion vierten Grades
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Logische Erarbeitung II
Werte der Unter- und Obersummen
Bedeutung von On -Un
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Präsentation II / Deutung
Ergebnisse der Partnerarbeit:
Unter- und Obersummen, Lückentexte
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Übung
Flächenberechnung mit TurboPlot
Didaktisch-methodischer Kommentar
Anhand verschiedener Abbildungen eines Funktionsgraphen werden die Begriffe Ober- und Untersumme eingeführt und das Verfahren der immer genaueren Annäherung an den Flächeninhalt unter einem Graphen verdeutlicht. Schließlich sollen sich die Lernenden von der Richtigkeit ihrer anfangs aufgestellten Vermutung (Zusammenhang zwischen Integral und Flächengröße) überzeugen, indem sie mithilfe der TurboPlot-Software die Annäherung von Ober- und Untersummen an die Fläche unter einer quadratischen Funktion beobachten und die vom Programm angezeigten Werte mit ihrem eigenen Ergebnis des bestimmten Integrals vergleichen.
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Vermittelte Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler sollen
- ihr Wissen über die Berechnung von Dreiecksflächen anwenden.
- Funktionen integrieren und die Stammfunktionen an bestimmten Stellen auswerten.
- den Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt entdecken.
- die Methode der Annäherung mithilfe von Rechtecken an einen Graphen erkennen.
- die Begriffe Unter- und Obersumme kennen lernen und verstehen, welche Bedeutung deren Differenz hat.
- sich in die TurboPlot-Software einarbeiten.
- mithilfe des Computers Werte für Unter- und Obersummen ermitteln und in Arbeitsblätter übertragen.
- abschließend gemeinsam in der Klasse ihre Beobachtungen zusammentragen.
Internetadresse
- TurboPlot
Bei der Software TurboPlot handelt es sich um Shareware, eine Testversion kann man kostenlos aus dem Internet herunterladen.
