• Fach
Tipp der Redaktion

Dreisatz und Prozentrechnung im Alltag

Frau bedient einen Taschenrechner
Tipp der Redaktion

Dreisatz und Prozentrechnung im Alltag

Diese Einheit verdeutlicht den Lernenden die Relevanz von Dreisatz und Prozentrechnung am Beispiel typischer Tätigkeiten des Friseurhandwerks.

Zur Unterrichtseinheit
Tipp der Redaktion

Rationale Zahlen per Wochenplan vermitteln

Mädchen lernt Mathe
Tipp der Redaktion

Rationale Zahlen per Wochenplan vermitteln

In dieser Unterrichtseinheit erkunden die Lernenden die rationalen Zahlen (Q). Sie lernen die Eigenschaften, Grundrechenarten und Darstellung auf dem Zahlenstrahl sowie im Koordinatensystem kennen.

Zur Unterrichtseinheit
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Geschwindigkeit: Geradlinige Bewegungen

Fahrradspur mit Schatten eines Fahrrads
Tipp der Redaktion

Geschwindigkeit: Geradlinige Bewegungen

In dieser Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler Bewegungsabläufe kennen, die ihnen vom Auto- oder Radfahren her bekannt sein sollten.

Zur Unterrichtseinheit
  • Lehrplanthema
  • Schulstufe2
  • Klassenstufe
  • Schulform
  • Materialtyp11
  • Quelle7
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Grundrechenarten im Bereich der natürlichen Zahlen

Unterrichtseinheit
14,99 €

Mit dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Grundrechenarten im Bereich der natürlichen Zahlen" üben die Schülerinnen und Schüler verschiedene Methoden zur Lösung von Aufgaben zu den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Ziel ist die Umsetzung eines Unterrichts im Sinne des selbstgesteuerten Lernens mit differenzierten Aufgaben. Das Unterrichtsmaterial ist anhand der beiden Arbeitsblätter in die zwei Teile "Addition und Subtraktion" sowie "Multiplikation und Division" aufgeteilt. Der Einsatz der Materialien erstreckt sich auf 8 Stunden (bei 4 Stunden pro Woche). Pro Woche käme ein Arbeitsblatt zur Bearbeitung zum Einsatz. Durch die Verwendung des Informationsblattes zur eigenen Recherche könnte sich die Bearbeitungszeit um 1 bis 2 Wochen verlängern oder verkürzen. Die differenzierten Aufgaben sollen die Schülerinnen und Schüler bei der Herangehensweise unterstützen. Mithilfe der Lösungen wären Schülerinnen und Schüler in der Lage, sich eigenständig zu überprüfen. Die Lösungen sind separat aufgeführt, um der Lehrkraft in dieser Hinsicht Gestaltungsfreiheit zu geben. Aufgrund der wöchentlichen Ausrichtung, des Informationsblattes und den separaten Lösungen lassen sich diese Arbeitsblätter ebenfalls als Wochenpläne einsetzen. Der Unterrichtsverlaufsplan ist daher eine grobe Einteilung in jeweils drei Phasen: Plenumsphase, Übungsphase und Rückmeldungsphase . Die Unterrichtseinheit basiert auf dem Prinzip des "eigenständigen" Lernens. Hierzu dient das Informationsblatt mit Erklärungen und Verweisen zur Erarbeitung des Inhalts. Um verschiedene Leistungsniveaus abbilden zu können, knüpfen an diesen Erklärungen differenzierte Aufgaben an. Die Arbeitsblätter 1 bis 2 können in der Jahrgangsstufe 5 eingesetzt werden. Die Arbeitsblätter bauen aufeinander auf, sodass es sinnvoll ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Arbeitsblätter chronologisch erarbeiten. Grundlage ist das Informationsblatt. Die Aufgaben in den Arbeitsblättern bauen auf diese Informationen auf, um auf die Informationsblätter als Quelle indirekt zu verweisen. Insbesondere die Aufgaben mit einem Stern haben einen direkten Bezug zu den Informationsquellen, um einen einfachen Einstieg in das Thema zu ermöglichen. Die Aufgaben mit drei Sternen können für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler geeignet sein, die insbesondere den Wechsel von der Realschule zum Gymnasium anstreben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler führen die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) mit natürlichen Zahlen sicher aus, wobei sie sowohl Kopfrechnen als auch schriftliche Rechenverfahren sowie Überschlagsrechnungen zur Ergebniskontrolle anwenden. erkennen die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Rechenoperationen und deren Umkehrungen und setzen diese gezielt ein. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler suchen, verarbeiten und bewahren Inhalte und Materialien auf. setzen digitale Werkzeuge zum Lösen von Problemen ein. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler kommunizieren sachlich. bearbeiten und führen gemeinsam Aufgaben aus. halten sich an Absprachen und Vereinbarungen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I

Proportionale und antiproportionale Zuordnung

Unterrichtseinheit

Die Unterrichtseinheit für das Fach Mathematik der Klasse 7 führt die Schülerinnen und Schüler über proportionale und antiproportionale Zuordnungen an den Dreisatz heran. Über drei Arbeitsblätter erarbeiten die Lernenden Zuordnungen und deren graphische Darstellung, bevor sie lernen, den Dreisatz anzuwenden. Einen lebensweltnahen Zugang schaffen dabei Fragestellungen rund um das Gebäudereiniger-Handwerk. So wird nicht nur der Bezug des Mathematik-Unterrichts zu ihrer Lebenswelt veranschaulicht; ihnen wird auch die Bedeutung der Rechenwege für den späteren Berufsalltag deutlich. In dieser Mathematik-Einheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Begriffe und die Eigenschaften zur proportionalen Zuordnung (Ausgangsgröße, zugeordnete Größe, quotientengleich, Proportionalitätsfaktor), zur antiproportionalen Zuordnung (Ausgangsgröße, zugeordnete Größe, produktgleich, Hyperbel) und zum Dreisatz kennen. Darüber hinaus erarbeiten sie die graphische Darstellung der Zuordnungen und berechnen die Größen zu Wertetabellen über den Dreisatz. Ziel ist die Umsetzung eines Unterrichts im Sinne des selbstgesteuerten Lernens mit differenzierten Aufgaben. Die Unterrichtseinheit ist anhand der Arbeitsblätter in drei Abschnitte aufgeteilt: Arbeitsblatt 1: proportionale und antiproportionale Zuordnung (Grundlagen) Arbeitsblatt 2: graphische Darstellung von proportionaler und antiproportionaler Zuordnung Arbeitsblatt 3: proportionaler und antiproportionaler Dreisatz (Grundlagen) Sie erstreckt sich auf 8 bis 12 Unterrichtsstunden (2-3 Wochen bei 4 Mathematik-Stunden pro Woche). In jeder Woche kann mithilfe eines Arbeitsblattes ein neuer Themenbereich erarbeitet werden. Die Aufteilung der Arbeitsblätter in einen Informations- und einen Aufgabenteil ermöglicht es den Schülerinnen und Schüler, die Themen auch eigenständig (z. B. als Wochenplan oder in Vertretungsstunden) zu erarbeiten. Werden die Lernenden nicht durch die Mathematik-Lehrkraft angeleitet, kann sich die Bearbeitungszeit um 1 bis 2 Wochen verlängern. Die differenzierten Aufgaben sollen die Schülerinnen und Schüler bei der eigenständigen Erarbeitung unterstützen. Lösungsblätter ermöglichen es den Lernenden, sich eigenständig zu überprüfen. Diese Einheit basiert auf dem Prinzip des eigenständigen Lernens. Hierzu dienen Infokästchen und ausführliche Erklärungen zur Erarbeitung des Inhaltes. An diesen Erklärungen knüpfen differenzierte Aufgaben an, die verschiedene Leistungsniveaus abbilden zu können. Die Arbeitsblätter 1 bis 3 können in der Jahrgangsstufe 7 eingesetzt werden und bauen aufeinander auf, sodass es sinnvoll ist, dass die Schülerinnen und Schüler diese chronologisch bearbeiten. Jedes Arbeitsblatt beinhaltet ein Informationsblatt und Übungsaufgaben. Die Aufgaben bauen auf diesen Informationen auf, um auf die Informationsblätter als Quelle indirekt zu verweisen. Insbesondere die Aufgaben mit einem Stern haben einen direkten Bezug zu den Informationsquellen, um den einfachen Einstieg in das Thema zu ermöglichen. Es werden die Begrifflichkeiten „proportionale Zuordnung“ und „antiproportionale Zuordnung“ verwendet, da diese in der Regel auch in den Schulbüchern genutzt werden. Vorkenntnisse Die Schülerinnen und Schüler sollten für die Erarbeitung der Unterrichtseinheit Vorkenntnisse in Bruchrechnen, der Anwendung von Formeln und dem Anfertigen bzw. Ablesen von Koordinatensystemen mitbringen. Da in dieser Unterrichtseinheit mit Einheiten gerechnet wird, sollte auch das Kürzen der Einheiten in der Bruchrechnung bereits bekannt sein. Wenn nicht, bietet es sich an, dies anhand der Beispielaufgaben zu thematisieren. Vertiefung Diese Unterrichtseinheit gibt die Formeln zu Berechung des proportionalen und antiproportionalen Dreisatzes bereits nach x aufgelöst vor. Für ein vertiefendes Verständnis ist es auch möglich, die Formeln von den Zuordnungen ausgehend aufzustellen und die Terme nach x aufzulösen. Dies bietet sich für Klassen mit einem hohen Leistungsniveau an. Voraussetzung hierfür ist, dass die Lernenden bereits mit dem Aufstellen und Umformen von Termen vertraut sind. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen. erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form […] dar. analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale). Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler suchen, verarbeiten und bewahren Inhalte und Materialien auf. kommunizieren und kooperieren auf verschiedenen Ebenen miteinander. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können sach- und adressatengerecht kommunizieren. können gemeinsam Aufgaben bearbeiten und ausführen. können sich an Absprachen und Vereinbarungen halten.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I
Titelbild

Das große Geobrett

Kopiervorlage
0,00 €

Das große Geobrett ist ein vielseitig einsetzbares Arbeitsmaterial für den Mathematikunterricht. Die Schülerinnen und Schüler können damit das räumliche Sehen trainieren, das Koordinatensystem kennenlernen, geometrische Konstruktionen durchführen, geometrische Flächen erarbeiten und sogar Flächen berechnen. Der vorliegende Band legt den Schwerpunkt auf die geometrischen Konstruktionen. Alle Aufgaben sind auf Karteikarten übersichtlich dargestellt. Für die Selbstkontrolle durch die Schüler wird zu jeder Aufgabe die Lösung mitgeliefert. Der besondere Vorteil: Die Arbeit am großen Geobrett erfüllt die Anforderungen der Montessori-Pädagogik. Das Spannen und Konstruieren von Geraden, Strecken und Flächen spricht verschiedene Sinne an. Zu den optischen Eindrücken kommen das haptische Erlebnis und die Freude am selbsttätigen und eigenverantwortlichen Arbeiten. Auch für die Freiarbeit und die Arbeit mit dem Wochenplan geeignet. Aus dem Inhalt: Übungen zum räumlichen Sehen Übungen zum Koordinatensystem Geometrische Konstruktionen Achsenspiegelung hoizontal und vertikal Achsenspiegelung diagonal Lot fällen und errichten Mittelsenkrechte finden Parallele finden

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I

Einführung in die Sinus- und Cosinusfunktion

Unterrichtseinheit
14,99 €

Die Definition von Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck bildet die Grundlage für die Erweiterung der Winkelfunktionen auf die gesamte reelle Zahlenmenge. In dieser Unterrichtseinheit werden die Sinus- und Cosinuswerte anschaulich über den Winkelbereich des rechtwinkligen Dreiecks hinaus erweitert und die Entstehung der Graphen sowie die grundlegenden Größen der Winkelfunktionen visualisiert und verständlich vermittelt. Ausgehend von der Definition von Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck wird in dieser Unterrichtseinheit ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 in Verbindung mit einem Viertelkreis betrachtet. Dabei wird anschaulich gezeigt, wie die Punkte auf dem Kreis mit den Sinus- und Cosinuswerten sowie dem entsprechenden Winkel zusammenhängen. Diese Überlegungen werden anschließend auf den Vollkreis erweitert, um die Zusammenhänge zwischen den Winkelfunktionswerten in verschiedenen Bereichen zu erarbeiten und zu visualisieren. Die Zuordnung von Winkeln zu den Sinus- und Cosinuswerten wird grafisch verdeutlicht und die Verläufe der beiden Funktionen für x E R werden systematisch entwickelt. Darüber hinaus werden die Einflüsse der Parameter auf die Funktionen untersucht, um ein tieferes Verständnis für deren Verhalten zu schaffen. In interaktiven GeoGebra-Übungen wird das erarbeitete Wissen gefestigt. Rückmeldungen und Visualisierungen unterstützen die Lernenden dabei, die Inhalte nachhaltig zu verinnerlichen. Als thematische Unterstützung und begleitend zum zweiten Arbeitsblatt dient das Arbeitsmaterial " Winkel: Gradmaß und Bogenmaß ". Die Unterrichtseinheit setzt grundlegende Kenntnisse zu Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck sowie zum Bogenmaß (" Winkel: Gradmaß und Bogenmaß ") voraus. Ziel ist es, den Lernenden ein tiefes Verständnis für die Werte von Sinus und Cosinus außerhalb des Winkelbereichs von 0° bis 90° zu vermitteln. Hierfür wird der Einheitskreis als zentrales Werkzeug genutzt, um die Zusammenhänge zwischen Winkeln und den entsprechenden Funktionswerten anschaulich zu visualisieren. Mithilfe von GeoGebra wird die Zuordnung von Winkeln zu den Sinus- und Cosinuswerten interaktiv dargestellt und deren Übertragung in die Funktionsgraphen nachvollziehbar gemacht. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Untersuchung der Parameter in den allgemeinen Funktionsgleichungen f( x) =A∙ sin( ax+b) +d und f( x) =A∙ cos⁡ ( ax + b )+ d . Die einzelnen Parameter werden schrittweise analysiert, um ihre spezifischen Einflüsse auf die Amplitude, die Periodenlänge, die Phasenverschiebung und die Verschiebung entlang der y-Achse zu verdeutlichen. Abschließend wird das erarbeitete Wissen in interaktiven Übungen gefestigt, die durch gezielte Rückmeldungen und Visualisierungen unterstützt werden. Ein kurzer Exkurs in die Tangensfunktion ergänzt die Einheit und bietet den Lernenden einen umfassenden Überblick über die grundlegenden Winkelfunktionen. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler erfahren die Bedeutung des Einheitskreises für die Werte von Sinus und Cosinus. kennen die Bedeutung der Parameter in den allgemeinen Winkelfunktionen. wenden das Wissen auf unterschiedliche Fragestellungen an. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren Ergebnisse. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. analysieren und reflektieren anhand dynamischer Geometriesoftware. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und das eigenverantwortliche Lernen (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). haben die Möglichkeit, in Teamarbeit Hilfsbereitschaft zu zeigen. lernen, auf vielfältige Fragenstellungen zu den Winkelfunktionen adäquat einzugehen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I

Lage von Gerade und Ebene

Kopiervorlage

Dieses Arbeitsblatt vermittelt den Schülerinnen und Schülern die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene im dreidimensionalen Raum. Die selbstständige Erarbeitung erfolgt nach dem Prinzip "Flip the Classroom" mithilfe eines Lernvideos und wird durch kontextbezogene Anwendungs- und Reflexionsaufgaben vertieft. Das Arbeitsmaterial bietet einen handlungsorientierten Einstieg in die Analyse der Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen im Raum. Über einen QR-Code gelangen die Schülerinnen und Schüler zu einem YouTube-Video, das die Thematik systematisch erklärt. Im Anschluss analysieren die Lernenden in der ersten Aufgabe eine reale Anwendung aus der Technik: Sie berechnen, ob eine Drohne parallel zum Dach eines Hauses fliegt. Dafür wenden sie den Vektorenvergleich an. In der zweiten Aufgabe untersuchen die Lernenden die theoretischen Lagebeziehungen anhand gegebener Richtungsvektoren. Sie begründen, welche Lagebeziehungen möglich sind, und wenden ihr Wissen argumentativ an. In der dritten Aufgabe überprüfen die Schülerinnen und Schüler ihr Verständnis, indem sie Aussagen als wahr oder falsch beurteilen. Dabei setzen sie sich differenziert mit typischen Fehlvorstellungen auseinander und reflektieren zentrale mathematische Zusammenhänge wie Kollinearität, Schnittbedingungen und Parallelität . Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene im Raum. wenden rechnerische Methoden wie Vektorenvergleich und Punktprobe an. analysieren reale Problemsituationen mithilfe geometrischer Modelle. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet eigenständig zur Vorbereitung auf den Unterricht. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich gegenseitig beim gemeinsamen Lösen der Aufgaben.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II

Grundlagen und Anwendung von Vektoren

Unterrichtseinheit

Die Unterrichtseinheit für Fach Mathematik der Klassen 11–12 eröffnet mit der Vektorrechnung einen zentralen Bereich der analytischen Geometrie. Schritt für Schritt lernen die Schülerinnen und Schüler, Vektoren zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren. Differenzierte Arbeitsmaterialien und GeoGebra-Übungen machen die Darstellung im Raum anschaulich. Am Beispiel eines Hausdachs zeigt sich, wie abstrakte Mathematik in alltägliche Fragestellungen übertragen und geübt werden kann. In dieser Unterrichtseinheit zur Vektorrechnung erwerben die Schülerinnen und Schüler der gymnasialen Oberstufe Schritt für Schritt den grundlegenden Umgang mit Vektoren. Mithilfe von drei aufeinander aufbauenden Arbeitsblättern erschließen sie das Thema anhand konkreter Anwendungen, lernen verschiedene Darstellungsformen kennen und gewinnen so Sicherheit im Umgang mit dem neuen Konzept. Mithilfe von Arbeitsblatt 1 erarbeiten sich die Lernenden Grundlagen der Vektorrechnung. Hierzu gehören die Orientierung in dem dreidimensionalen Raum sowie die Addition und Subtraktion von Vektoren. Dabei arbeitet das Arbeitsblatt mit Bildern wie "Verbindungen von Punkten", ohne zu weit in die Formalia der Begriffsbildung abzugleiten. Der Schwerpunkt von Arbeitsblatt 2 liegt auf der Multiplikation von Vektoren. Die Einführung der Multiplikation von Vektoren in Arbeitsblatt 2 wird über die Multiplikation natürlicher Zahlen eingeführt. Der intuitive Zugang mit einem niederschwelligen Anknüpfungspunkt sorgt für eine höhere Sicherheit im Umgang mit dem Thema und motiviert die Lernenden. Arbeitsblatt 3 dient der Vertiefung und Übung der gelernten Inhalte anhand einer alltagsnahen Problemfragestellung. Einen besonderen Alltagsbezug erhält die Unterrichtseinheit durch das Beispiel des Hausdachs: Dächer sind allen Schülerinnen und Schülern vertraut und machen abstrakte Mathematik greifbar. Anhand dieses Kontextes lassen sich Fragen entwickeln, die nahe an der Lebenswelt liegen, zum Beispiel: "Wenn Regen schräg fällt – trifft er trotz Dachüberstand die Fassade?", "Wie hoch ist die Giebelsäule oder wie breit das Gebäude?" oder "Welche Materialien kommen zum Einsatz und sind sie sinnvoll gewählt?" Solche Fragestellungen verdeutlichen den praktischen Nutzen der Vektorrechnung und zeigen, wie mathematische Konzepte auf alltägliche Situationen übertragen werden können. Ein Hauptaugenmerk bei der Konzeption der Unterrichtseinheit liegt darauf, vorhandenes Vorwissen aufzugreifen und durch anschauliche Aufgaben sowie den Einsatz digitaler Darstellungen eine umfassende Vorstellung der Vektorrechnung aufzubauen. Nach jedem Arbeitsblatt bietet sich eine kurze Reflexion an, wodurch die Einheit auch als EVA-Phase (Erarbeitung – Vertiefung – Anwendung) geeignet ist. Der Einsatz von GeoGebra zieht sich durch die gesamte Einheit und bietet einen besonderen Mehrwert. Die dynamische Darstellung von Punkten, Vektoren und Geraden unterstützt die Schülerinnen und Schüler dabei, abstrakte Inhalte visuell zu erfassen und ihre räumliche Vorstellung zu weiterzuentwickeln. Die Darstellung ermöglicht es, Rechenoperationen wie Vektoraddition, -subtraktion oder die Multiplikation mit einem Skalar nicht nur rechnerisch, sondern auch anschaulich im Koordinatensystem nachzuvollziehen. Dabei fördert diese methodische Variante problemlösendes Denken, unterstützt individuelle Lernwege und bietet Chancen zur Differenzierung. Durch den Wechsel zwischen händischer Berechnung und digitaler Visualisierung wird ein tieferes Verständnis der Vektorrechnung angebahnt. Der alltagsnahe Kontext macht die Grundlagen der Vektorrechnung anschaulich und lebensweltnah. Dächer und Dachgiebel lassen sich mit Vektoren modellieren, sodass abstrakte Inhalte in einem realistischen Kontext durch das Lernfeld des Dachdecker-Handwerks greifbar werden. Durch problemorientierte Fragestellungen wird die Relevanz für den Alltag sichtbar, das räumliche Denken gefördert und der Theorie-Praxis-Bezug gestärkt. Als Vorwissen benötigen die Schülerinnen und Schüler den grundlegenden Umgang mit dreidimensionalen Koordinatensystemen und Punkten darin sowie Grundkenntnisse im Anwenden von Rechenregeln und Auflösen eindimensionaler linearer Gleichungen . Die Rolle der Lehrkraft ist in der gesamten Einheit neben der kurzen Moderation von Plenumsgesprächen eine unterstützende, was die Möglichkeit eröffnet, vermehrt in den fachlichen Austausch mit einzelnen, eventuell leistungsschwächeren Lernenden zu gehen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler addieren, subtrahieren und skalieren Vektoren. nutzen dynamische Geometriesoftware zur Darstellung mathematischer Sachverhalte. leiten selbstständig Rechenregeln aus Verträglichkeitsforderungen ab. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen Onlinerecherchen zur Faktenfindung. nutzen digitale Medien zur Darstellung abstrakter Probleme. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten effektiv in Paar- und Kleingruppenarbeit. kommunizieren Ergebnisse und Lösungsansätze. steuern selbstständig Lernprozesse und reflektieren die eigene Entwicklung.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Exponentialgleichungen mit e als Lernzirkel

Kopiervorlage

In diesem Lernzirkel werden systematisch alle wichtigen Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen mit der Basis e wiederholt und vertieft – vom Isolieren und Logarithmieren über Substitution und Ausklammern bis hin zu realen Anwendungsaufgaben. Exponentialfunktionen und ihre Umkehrfunktionen gehören zu den wichtigsten Inhalten der gymnasialen Oberstufe. Sie spielen nicht nur in der Mathematik, sondern auch in zahlreichen Anwendungsbereichen wie Biologie, Physik, Chemie oder Wirtschaft eine zentrale Rolle – überall dort, wo Wachstums- und Zerfallsprozesse modelliert werden. Umso wichtiger ist es, die verschiedenen Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen sicher zu beherrschen. Dieser Lernzirkel bietet den Lernenden die Möglichkeit, die grundlegenden Verfahren Schritt für Schritt selbstständig zu erarbeiten oder zu wiederholen. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler zunächst, wie man einfache Exponentialgleichungen vom Typ 1 durch Isolieren und Anwenden des natürlichen Logarithmus löst. Anschließend beschäftigen sie sich mit Typ 2 -Gleichungen, bei denen unterschiedliche Exponenten auftreten und die mithilfe einer Substitution in eine quadratische Form überführt werden können. Schließlich lernen sie bei Typ 3 , wie man gemeinsame Faktoren ausklammert, um die Gleichung zu vereinfachen. Neben den Pflichtstationen, die das notwendige Grundwissen vermitteln, gibt es auch Wahlstationen, die vertiefende Einblicke bieten. Hier können die Lernenden ihr Wissen in einem Multiple-Choice-Quiz testen, ein eigenes Übersichtsschema entwickeln oder reale Anwendungsaufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen lösen. Durch Hilfekarten, Tipps und Zusatzaufgaben werden die Schülerinnen und Schüler individuell gefördert oder gefordert – je nachdem, wie sicher sie sich bereits fühlen. Das Ziel des Lernzirkels ist es, einen klaren Überblick über die verschiedenen Typen von Exponentialgleichungen zu verschaffen und die Lernenden in die Lage zu versetzen, diese selbstständig und sicher zu lösen. Am Ende sollten die Schülerinnen und Schüler genau wissen um welchen Typ es sich handelt – und welche Methode dazu passt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erkennen unterschiedliche Typen von Exponentialgleichungen und ordnen ihnen passende Lösungsmethoden zu. lösen Exponentialgleichungen sicher durch Logarithmieren, Substitution und Ausklammern. beschreiben und interpretieren Wachstums- und Zerfallsprozesse mithilfe exponentieller Modelle. Methodenkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden Arbeitstechniken im Lernzirkel selbstständig an (Stationenarbeit, Hilfekarten, Wahl- und Pflichtstationen). stellen Lösungsstrategien systematisch dar (Rechenschemata, Merkkarten, Übersichten). überprüfen ihre Ergebnisse eigenständig anhand von Lösungsblättern und reflektieren ihr Vorgehen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen bereitgestellte Materialien (zum Beispiel Tippkarten) sachgerecht. dokumentieren ihre Ergebnisse strukturiert (Regelheft, Laufzettel, Übersichtstexte). prüfen Informationen kritisch, indem sie eigene Lösungen mit Lösungsblättern abgleichen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten in Partner- und Gruppenarbeit kooperativ Lösungen und diskutieren ihre Vorgehensweise. übernehmen Verantwortung für die eigene Arbeit und für den Arbeitsprozess in der Gruppe. halten Rücksicht und Ruhe ein, um eine lernförderliche Arbeitsatmosphäre zu schaffen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Berufliche Bildung, Sekundarstufe II

Trigonometrische Funktionen graphisch differenzieren

Unterrichtseinheit
14,99 €

In dieser Unterrichtsstunde entdecken die Schülerinnen und Schüler durch graphisches Differenzieren die Ableitungsregeln von Sinus und Cosinus. Dabei wenden sie bekannte Methoden der Differentialrechnung auf eine neue Funktionsklasse an und festigen so ihr Verständnis für mathematische Zusammenhänge. Die vorliegende Unterrichtsstunde thematisiert die Herleitung der Ableitungsregeln der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus durch die Methode des graphischen Differenzierens. Das Kernanliegen der Stunde besteht darin, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Ableitung der Sinusfunktion der Cosinusfunktion entspricht und umgekehrt die Ableitung der Cosinusfunktion den an der x-Achse gespiegelten Sinus ergibt. Dies soll durch eigenständiges graphisches Differenzieren mit GeoGebra, arbeitsteiliges Vorgehen und anschließendem Vergleich der Ergebnisse in Paararbeit herausgearbeitet werden. Im Rahmen der Kompetenzerweiterung üben die Lernenden nicht nur mathematische Arbeitstechniken wie das Anlegen von Tangenten und das Bestimmen von Steigungen, sondern entwickeln auch ein vertieftes Verständnis für funktionale Zusammenhänge . Sie wenden bekannte Methoden auf eine neue Funktionsklasse an, fördern damit ihre Problemlösekompetenz sowie die Fähigkeit, mathematische Ergebnisse zu kommunizieren und zu begründen . Zugleich wird die Vielfalt der Ableitungsregeln sichtbar, wodurch die Schülerinnen und Schüler ihre bisher erworbenen Kenntnisse vernetzen und auf künftige Problemstellungen übertragen können. Damit trägt die Stunde wesentlich dazu bei, mathematische Strukturen zu entdecken, zu verstehen und nachhaltig zu sichern. Die Unterrichtseinheit zur Herleitung der Ableitungsregeln trigonometrischer Funktionen besitzt eine hohe fachliche Relevanz, da Sinus- und Cosinusfunktionen zentrale Grundfunktionen der Analysis sind. Ihre Differenzierbarkeit bildet eine wichtige Grundlage für zahlreiche Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik. Gleichzeitig stellt die Stunde eine konsequente Fortführung der bisherigen Arbeit mit ganzrationalen und der Exponentialfunktion dar und ergänzt die Vielfalt der Ableitungsregeln um eine weitere Funktionsklasse. Die Schülerinnen und Schüler bringen als Vorkenntnisse die Konzepte der mittleren und momentanen Änderungsrate, die Definition der Ableitung sowie grundlegende Ableitungsregeln (wie zum Beispiel die Potenz- und Summenregel) mit. Zudem verfügen die Schülerinnen und Schüler über erste Erfahrungen im graphischen Differenzieren sowie im Umgang mit GeoGebra auf dem Tablet. Damit sind die wesentlichen Voraussetzungen geschaffen, um die Ableitung von Sinus- und Cosinusfunktionen zunächst graphisch zu erarbeiten und anschließend rechnerisch zu sichern. Didaktisch-methodisch zeichnet sich die Stunde durch einen problemorientierten Einstieg aus, der vorhandenes Wissen aktiviert, Wiederholung ermöglicht und einen hohen Aufforderungscharakter besitzt. Methodenvielfalt wird durch den Wechsel von Einzelarbeit, Paararbeit, Plenumsdiskussion und digital gestützten Arbeitsphasen gewährleistet. Binnendifferenzierung erfolgt durch Hilfekarten, ein Lernvideo, farbliche Markierungen sowie Zusatzaufgaben für leistungsstarke Lernende. Auf diese Weise wird sowohl leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern Sicherheit vermittelt als auch eine inhaltliche Vertiefung für Stärkere angeboten. Für die Lehrkraft erfordert die Durchführung insbesondere digitale Kompetenzen im Einsatz von GeoGebra und Tablet, um präzises graphisches Arbeiten zu ermöglichen und technische Unterstützung geben zu können. Durch den Einsatz digitaler Werkzeuge wird zugleich die Medienkompetenz der Lernenden gestärkt. Insgesamt verbindet die Einheit eine klare fachliche Progression mit einer methodischen Vielfalt, die sowohl Motivation als auch nachhaltigen Kompetenzerwerb fördert. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wenden die Methode des graphischen Differenzierens auf trigonometrische Funktionen an und leiten daraus die Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus ab. können ihr bisher erworbenes Wissen zur Differentialrechnung anwenden und Inhalte aus den vorangegangenen Stunden miteinander verknüpfen, um ihr Verständnis mathematischer Zusammenhänge zu festigen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen GeoGebra auf dem Tablet oder PC, um Tangenten an Funktionsgraphen präzise anzulegen und Ableitungsfunktionen zu visualisieren. reflektieren die Ergebnisse digitaler Werkzeuge kritisch und vergleichen sie mit eigenen Zeichnungen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten konstruktiv in Paararbeit zusammen und übernehmen Verantwortung für den gemeinsamen Lernfortschritt. hören einander zu, respektieren unterschiedliche Lösungswege und korrigieren Ergebnisse partnerschaftlich. präsentieren ihre Ergebnisse im Plenum und gehen wertschätzend auf Beiträge anderer ein.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II

Erweitern von Brüchen - eine interaktive Einführung

Unterrichtseinheit
14,99 €

In dieser Unterrichtseinheit zum Erweitern von Brüchen bieten interaktive Arbeitsblätter den Schülerinnen und Schülern einen experimentellen, anschaulichen und nachhaltigen Zugang zum grundlegenden Verständnis des Erweiterns von gemeinen Brüchen. In der vorliegenden Unterrichtseinheit werden die Grundlagen für das Erweitern von Brüchen geschaffen. Eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis des Erweiterns von gemeinen Brüchen ist die Einsicht, dass ein und dieselbe Zahl durch verschiedene wertgleiche Brüche dargestellt werden kann. Die geometrische Veranschaulichung des Erweiterns anhand der Verfeinerung der Unterteilung eines gegebenen Rechtecks wird mithilfe von GeoGebra realisiert und in den interaktiven Übungen zur Veranschaulichung genutzt. Neben der interaktiven Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung bietet die Unterrichtseinheit unterschiedliche interaktive Übungsmöglichkeiten zur Individualisierung und Differenzierung des Unterrichts. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende, Motivation während dieser Übungs- und Vertiefungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler die von Ihnen erreichte Punktzahl in eine Bestenliste eintragen können. Voraussetzungen Für den Einsatz der interaktiven Arbeitsblätter zum Erweitern von Brüchen müssen weder Lehrkräfte noch Schülerinnen und Schüler über spezielle digitale Kompetenzen verfügen. Die Schülerinnen und Schüler sollen die Darstellung von Bruchteilen anhand von unterteilten Rechtecken bereits kennen. Die Unterrichtseinheit selbst basiert auf acht interaktiven Arbeitsblättern zum Erweitern von Brüchen, die mit jedem Internet-Browser und auf allen digitalen Endgeräten dargestellt werden können. Funktionsweise des ersten interaktiven Arbeitsblattes Die erste interaktive Aufgabe gehört zum anschließenden Hefteintrag und dient zur Erarbeitung der Regel für das Erweitern von Brüchen (siehe Linkliste). Mit dem Button "neu" wird eine entsprechende Aufgabe erzeugt. Mit dem Schieberegler "Erweiterungszahl" oder den zugehörigen Pfeiltasten wird der blau dargestellte Bruchteil noch einmal unterteilt. Gleichzeitig wird der wertgleiche Bruch dargestellt. Die gesuchte Erweiterungszahl kann anschließend abgelesen werden. Das so gefundene Ergebnis wird in das vorgesehene Feld eingetragen. Der Button "prüfen" dient zur Kontrolle des Ergebnisses. Anstelle einer Einweisung in die Funktionalität des interaktiven Arbeitsblatts kann das bereitgestellte Erklärvideo verwendet werden. Visuelles Üben vor der Algebraisierung Die Bedeutung des ersten interaktiven Arbeitsblatts sollte nicht unterschätzt werden. Es dient zur Festigung der bisherigen Erarbeitung. Im Lernprozess sollte das Üben nicht sofort auf symbolischer Ebene angesetzt werden. Vielmehr ist es wichtig, dass vor der Übung auf der algebraischen Ebene die bildliche Ebene noch einmal vertieft wird. Dazu beinhaltet das Arbeitsblatt 1 unter "Aufgabe 1" die passende Übung. Üben auf unterschiedlichen Niveaustufen Das Arbeitsblatt 1 enthält drei weitere Aufgaben, anhand derer die Schülerinnen und Schüler das Erweitern ohne Veranschaulichung durchführen. Dabei kann die Lehrkraft überprüfen, ob die grundlegenden Kompetenzen für das Erweitern von Brüchen vorhanden sind. Bei "Aufgabe 2" soll ein Bruch mit einer vorgegebenen Zahl erweitert werden, bei "Aufgabe 3" soll anhand von zwei wertgleichen Brüchen die Erweiterungszahl angegeben werden. Die abschließende "Aufgabe 4" ist komplexer gehalten. Hier müssen die Lernenden sowohl die Erweiterungszahl erkennen als auch eine fehlende Zahl ergänzen. Sie bildet den Abschluss der Übungsphase 1 und leitet damit zu den Aufgaben mit höherem Niveau über. Das Arbeitsblatt 2 stellt dafür drei interaktive Übungen bereit. Bei "Aufgabe 1" sollen drei wertgleiche Brüche bestimmt werden. Bei "Aufgabe 2" werden zwei unterschiedliche Brüche erzeugt, die dann so zu erweitern sind, dass sie den gleichen Nenner besitzen. Hier wird bereits propädeutisch das Addieren und Subtrahieren von Brüchen eingeleitet. Schließlich sollen die Schülerinnen und Schüler bei "Aufgabe 3" ihre Kenntnisse auf einen Sachverhalt anwenden, in dem sie eine Perlenkette mit farbigen Perlen erzeugen. Lehrerrolle Da die Kontrolle der Lösungen digital durch den Computer stattfindet, kann die Lehrkraft eine beobachtende Rolle einnehmen. Sollten bei der Bearbeitung der Aufgaben schwächere Schülerinnen oder Schüler auf Schwierigkeiten stoßen, kann die Lehrkraft diese individuell betreuen und unterstützen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten selbstständig die Regel für das Erweitern von Brüchen. können die Regeln für das Erweitern von Brüchen verbal beschreiben. wenden ihre erworbenen Kenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben an. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfassen und interpretieren Inhalte aus digitalen Informationsquellen. nutzen Medieninhalte und formulieren daraus eigene Hypothesen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stärken während der Paararbeit ihre Kommunikations- und Teamfähigkeit. können ihr Wissen im Austausch mit anderen auf erweiterte Fragestellungen anwenden.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe I

Exponentialfunktion der CO₂-Abnahme

Interaktives

Die interaktiven Übungen für das Fach Mathematik der Klasse 12 ermöglicht den Schülerinnen und Schülern eigenständig und anwendungsbezogen Wissen und Kenntnisse zu Exponentialfunktionen und deren Ableitung zu gewinnen oder zu vertiefen. Die Lernenden analysieren exponentiellen Zerfall, interpretieren Graphen und berechnen Ableitungen am Beispiel der CO₂-Konzentration beim Lüften. Dieses interaktive Arbeitsmaterial ergänzt die Unterrichtseinheit "Exponentialfunktionen und ihre Anwendung auf reale Prozesse" . Dabei untersuchen die Schülerinnen und Schüler die Veränderung der CO₂-Konzentration in einem Raum beim Lüften. Verschiedene Lüftungsvarianten werden miteinander verglichen und mathematisch mit Exponentialfunktionen modelliert. Die Aufgaben Aufgabe 1: Mithilfe dieser Aufgabe modellieren die Schülerinnen und Schüler ein Lüftungsszenario und wiederholen zentrale Eigenschaften von Exponentialfunktionen. Aufgabe 2: Diese Aufgabe zielt darauf ab, die Steigung verschiedener Funktionsgraphen zu beschreiben und zu vergleichen. Aufgabe 3: In dieser Aufgabe ordnen die Schülerinnen und Schüler mathematische Begriffe zum exponentiellen Zerfall der CO₂-Konzentration an. Aufgabe 4: Mithilfe dieser Aufgabe übertragen die Schülerinnen und Schüler ihre Erkenntnisse auf eine Funktionenschar und fassen das gelernte zusammen. Die Übung verbindet mathematisches Arbeiten mit einem alltagsnahen, lebensweltlich relevanten Thema. Sie fördert das Verständnis für mathematische Modellierung, das Interpretieren von Funktionsgraphen und den sinnvollen Einsatz von Ableitungen zur Beschreibung von Änderungsverhalten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nennen charakteristische Eigenschaften der Exponentialfunktion. beschreiben und interpretieren die Steigung von Exponentialfunktionen. beschreiben Zerfalls­vor­gän­ge mit Hilfe mathematischer Modelle. wenden die Ableitungsfunktion an und interpretieren sie im Anwendungskontext. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler üben, Informationen und Daten zu analysieren, interpretieren und kritisch bewerten zu können. üben, digitale Werkzeuge bedarfsgerecht einzusetzen.

  • Mathematik
  • Sekundarstufe II

Winkel: Gradmaß und Bogenmaß

Interaktives / Kopiervorlage

Wie misst man einen Winkel – in Grad oder im Bogenmaß mit Pi? Dieses interaktive Arbeitsmaterial stellt beide Maße vor und bietet viele Umrechnungsübungen. Historische Einblicke von den Babyloniern bis zur modernen Mathematik werden mit Aufgaben und interaktiven GeoGebra Übungen verbunden. Ideal zur Einführung des Winkelbegriffs oder zur Wiederholung wichtiger Umrechnungsregeln. In diesem interaktiven Arbeitsmaterial lernen Schülerinnen und Schüler die beiden Winkelmaße - Grad und Bogenmaß - kennen und setzen sie miteinander in Beziehung. Historische Hintergründe – von der babylonischen Einteilung des Kreises bis zur Einführung des Bogenmaßes im 17. Jahrhundert – sorgen für einen anschaulichen Zugang. Schritt für Schritt wird das Umrechnen zwischen Grad, Minuten, Sekunden und Dezimaldarstellung geübt, bevor die Bedeutung der Kreiszahl Pi und die Vorteile des Bogenmaßes in der modernen Mathematik verdeutlicht werden. Interaktive GeoGebra Übungen, Beispiele und praxisnahe Aufgaben unterstützen das Verständnis und festigen die Anwendung. So eignet sich das Material gleichermaßen zur Einführung des Winkelbegriffs wie zur Wiederholung zentraler Rechenregeln. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Fachbegriffe im Themenbereich Winkel. kennen besondere Winkel und die Bezeichnungen der Winkelbereiche. können Winkelgrößen von einem Maß in das andere umrechnen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler verwenden eine dynamische Geometriesoftware. setzen mobile Endgeräte im Unterricht ein. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Antwortmöglichkeiten). haben die Möglichkeit in Teamarbeit Hilfsbereitschaft zu zeigen. lernen auf vielfältige Fragenstellungen aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung adäquat einzugehen.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II, Sekundarstufe I

Darstellung einer Ebene

Video / Interaktives / Kopiervorlage

Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich selbstständig mithilfe eines YouTube-Videos die unterschiedlichen Darstellungen einer Ebene und wie man diese in GeoGebra veranschaulichen kann. Vertieft werden diese Kenntnisse anhand von wahr/falsch Aussagen. Die Schülerinnen und Schüler lernen im YouTube‑Video "17 Darstellung einer Ebene“ die unterschiedlichen Darstellungsformen kennen. Zur Festigung werden die Darstellungen in Aufgabe 1 nochmals notiert und in Aufgabe 2 weiterverwendet. Dabei sehen sich die Schülerinnen und Schüler vier Shorts an, die die Bedienung von GeoGebra zeigen, und setzen diese anhand der vorgegebenen Darstellung um. In Aufgabe 3 reflektieren sie ihre Kenntnisse mithilfe von Wahr‑/Falsch‑Aussagen. Darüber hinaus steht eine weitere Unterrichtseinheit " Mit GeoGebra arbeiten – Grundlagen " zur Verfügung, die gezielt in die Arbeit mit GeoGebra einführt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik und wenden diese auf Anwendungsaufgaben an. verwenden mathematische Darstellungen und veranschaulichen Situationen im Koordinatensystem. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Internet eigenständig zur Vorbereitung auf den Unterricht. nutzen GeoGebra zur Visualisierung der Darstellungsformen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler unterstützen sich gegenseitig beim gemeinsamen Lösen der Aufgaben.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II

Unterrichtsmaterial und News für das Fach Mathematik

Hier finden Lehrkräfte der Sekundarstufen I und II kostenlose und kostenpflichtige Arbeitsblätter, Kopiervorlagen, Unterrichtsmaterialien und interaktive Übungen mit Lösungsvorschlägen zum Download und für den direkten Einsatz im Mathematik-Unterricht oder in Vertretungsstunden. Ob Materialien zu Algebra, Geometrie, Trigonometrie, Funktionen, Kombinatorik oder GeoGebra-Anwendungen: Dieses Fachportal bietet Lehrerinnen und Lehrern jede Menge lehrplanorientierte Unterrichtsideen, Bildungsnachrichten sowie Tipps zu Apps und Tools für ihren Mathe-Unterricht an Gymnasien, Gesamt-, Real-, Haupt- und Mittelschulen. 

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