Wolfgang Motzer
29.01.2014

Unterrichtsmaterial "Fibonacci-Zahlen"

Im Unterricht werden meist nur Funktionen und Integrale behandelt. Folgen und Reihen spielen - wenn überhaupt - eine untergeordnete Rolle. Dabei ermöglichen sie wichtige mathematische Betrachtungen, die den Lernenden auch nach der Schulzeit noch oft begegnen werden.
 

Die Einfachheit der Entstehung der Fibonacci-Zahlen ist eine gute Motivation, im Unterricht auch einen Blick auf Folgen und Reihen zu werfen. Die Zahlen lassen interessante Grenzwertbetrachtungen zu - ebenfalls die Formel von Moivre-Binet, die in diesem Zusammenhang auftaucht. Die Beweisidee der vollständigen Induktion wird als wichtige Beweismethode erklärt und angewendet. Ein kurzer Blick über die Inhalte der Schulmathematik hinaus rundet die Unterrichtseinheit ab.

 

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaFibonacci-Zahlen: die Beweismethode der vollständigen Induktion, eine besondere Konvergenz und mehr
AutorWolfgang Motzer
FachMathematik
ZielgruppeGymnasium Sekundarstufe II, begabte Schülerinnen und Schüler; die Materialien können auch zum Selbststudium oder in einem Pluskurs Mathematik eingesetzt werden.
Zeitraum4-5 Unterrichtsstunden
Technische VoraussetzungenRechner mit Tabellenkalkulations-Software

Didaktisch-methodischer Kommentar

Warum die Behandlung von Folgen und Reihen sinnvoll ist
Dass für große x-Werte die Funktionswerte f(x) gegen einen endlichen Wert streben, wird den Lernenden häufig vermittelt. Folgen werden im Unterricht dagegen selten erörtert. Einen kurzen Einblick erhält man, wenn das Integral über einer Funktion im ersten Quadraten durch Rechtecke angenähert wird. Dabei ist es wichtig den Grenzwert zu bestimmen, falls die Breite der Rechtecke gegen Null und somit die Anzahl der Rechtecke gegen Unendlich geht. Oft wird nur in diesem Zusammenhang kurz über Folgen und Reihen gesprochen. Viele Alltagsbetrachtungen können jedoch durch Folgen und Reihen verständlicher beschrieben werden. Als Beispiel betrachtet man ein monatliches Ansparen eines festen oder flexiblen Betrages, der in Abhängigkeit zur Anzahl der Monate beschrieben werden kann.

Hinweise zum Einsatz im Unterricht
Leonardo da Pisa (etwa 1170-1240), auch Fibonacci genannt, war Rechenmeister in Pisa und gilt als bedeutendster Mathematiker des Mittelalters. Neben den nach ihm benannten Zahlen sollen die Schülerinnen und Schüler in dieser Unterrichtseinheit vor allem die Beweismethode der vollständigen Induktion kennen lernen. Der Funktionsbegriff sowie die Idee der Stamm- und Integralfunktion ist ihnen bereits bekannt. Sollen sie auch erste Erfahrungen mit Folgen und Reihen machen, so ist im ersten Abschnitt der Unterrichtseinheit eine Ergänzung nötig, denn die hier bereitgestellten Materialien setzen voraus, dass auch diese Begriffe bereits bekannt sind. Die Arbeitsblätter vermitteln, dass auch Folgen und Reihen analoge Betrachtungen zu Grenzwerten zulassen. Die Art der Annäherung an einen Grenzwert von beiden Seiten ist eine Besonderheit. Zum Abschluss wird ein Begriff aus der Mathematik vorgestellt, der über den Lehrplan hinaus einen Blick in die Welt der Mathematik bietet: Nachbarbrüche. Die Materialien sind so konzipiert, dass interessierte und begabte Schülerinnen und Schüler sie mit kleinen Änderungen und Ergänzungen durch die Lehrperson auch für ein Selbststudium verwenden können.

Kompetenzen

Arbeitsmaterial zum Download

Einzeldownload - Arbeitsblätter

1_arbeitsblatt_fibonacci.docx
2_arbeitsblatt_fibonacci.docx
3_arbeitsblatt_fibonacci.docx
4_arbeitsblatt_fibonacci.docx
 
5_arbeitsblatt_fibonacci.docx
6_arbeitsblatt_fibonacci.docx
7_arbeitsblatt_fibonacci.docx
 

Gesamtdownload der Arbeitsblätter

arbeitsmaterialien_fibonacci.zip
 

Lösungen

loesungen_arbeitsblaetter_fibonacci.docx
loesung_aufgabengruppe_6.xlsx
loesung_aufgabengruppe_7.xlsx
 

Informationen zum Autor

Wolfgang Motzer ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik am Dossenberger-Gymnasium in Günzburg (Bayern).

  • Mehr Infos im Autorenverzeichnis
    Hier können Sie Kontakt mit Herrn Motzer aufnehmen. Zudem finden Sie hier eine Liste mit weiteren Lehrer-Online-Beiträgen des Autors.
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