Einführung der Eulerschen Zahl

Mithilfe eines Java-Applets und rechnerischer Umformungen bestimmen und begründen die Schülerinnen und Schüler die Ableitung der Exponentialfunktion analytisch und zugleich anschaulich.
 

Die barometrische Höhenformel, das Bevölkerungswachstum und der Zerfall von Bierschaum: Als Einstieg in diese Unterrichtseinheit wurden Wachstums- und Zerfallsvorgänge durch die Behandlung von anwendungsorientierten und alltagsbezogenen Aufgaben aufgegriffen. Dies diente zum einen dazu, dass die Schülerinnen und Schüler lernten und übten, Funktionsterme für Exponentialfunktionen aufzustellen. Zum anderen sollten sie erkennen, welche Bedeutung der Wachstumsfaktor und der Streckfaktor für den Grafen einer Exponentialfunktion haben.

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • für Exponentialfunktionen der Form f(x) = cax anhand der gegebenen Informationen Funktionsterme bestimmen können.
  • den Unterschied zwischen a > 1 und a < 1 anhand des Grafen und der gegebenen Informationen erläutern können.
  • analytisch und geometrisch begründen können, warum die Tangente an eine Exponentialfunktion an der Stelle x = 0 eine Steigung von 1 haben muss.
  • eine geeignete Basis a bestimmen können, bei der die Ausgangsfunktion mit ihrer Ableitung übereinstimmt.
  • die Eigenschaften der Eulerschen e-Funktion und die Ableitungsregeln für die e-Funktion kennen.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaEinführung der Eulerschen Zahl
AutorinSandra Schmidtpott
FachMathematik
ZielgruppeJahrgangsstufe 12
Zeitraum2-3 Unterrichtsstunden
Technische Voraussetzungen1 Rechner mit Internetanschluss für je 1-2 Lernende, Java Runtime Environment; idealerweise Beamer, grafikfähiger Taschenrechner, OHP-Projektion für Taschenrechner, CAS

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die Exponentialfunktion begegnet den Schülerinnen und Schülern in der Regel in der Sekundarstufe I, insbesondere in Klasse 10 im Zusammenhang mit der Behandlung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen. In der Sekundarstufe II geht es nun darum, an dieses Vorwissen anzuknüpfen und im weiteren Verlauf des Unterrichts zur Analysis die Ableitung der Exponentialfunktion zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler zeigten sich während dieser Unterrichtseinheit motiviert und engagiert, was unter anderem auf den anwendungsbezogenen Charakter der Aufgaben und den Einsatz des Java-Applets zurückzuführen ist. Das Applet machte anschaulich deutlich, was beim Bestimmen der Ableitung eigentlich genau rechnerisch bestimmt wird und was dem grafisch entspricht - eine echte Bereicherung der von den Lernenden als unverständlich empfundenen "üblichen rein theoretischen Rechnerei".

  • "Geh weg oder ich differenzier dich!"
    Der Mathematikerwitz diente als stummer Impuls, zu dem die Schülerinnen und Schüler Vermutungen sammelten und hinterfragten. Das anspruchsvolle Java-Applet unterstützte das experimentelle Finden der Zahl "e".

Download

eulersche_zahl_arbeitsblatt.pdf
 

Internetadressen

Informationen zu der Autorin

Sandra Schmidtpott, Studienrätin, studierte die Fächer Mathematik und Erdkunde an der Georg-August-Universität Göttingen.

  • Mehr Infos im Autorenverzeichnis
    Hier können Sie Kontakt mit Frau Schmidtpott aufnehmen. Zudem finden Sie hier eine Liste mit weiteren Lehrer-Online-Beiträgen der Autorin.
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