Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e

Ausgehend vom Beispiel des radioaktiven Zerfalls von Jod-131 werden die Eigenschaften der Funktionen vom Typ
f(x) = Ca^x untersucht. Hauptaspekte dabei sind die Modellierung von exponentiell ablaufenden Prozessen, die Proportionalität der lokalen Änderungsrate zum Bestand und die Abhängigkeit des Proportionalitätsfaktors von der Basis a. Erst zum Schluss wird die Zahl e als ausgezeichnete Basis zur Normierung des Proportionalitätsfaktors
k = f '(x)/f(x) eingeführt.

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

• Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren.
• die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken.
• diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen).
• die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis).
• die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen.
• die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen.

Kurzinformation

Didaktisch-methodischer Kommentar

Selbstgesteuertes Lernen
Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden.

Modifizierbare Arbeitsblätter
Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden.

Optionale Beweise
Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage

(Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren.

Download

Informationen zum Autor

Dr. Hans-Joachim Feldhoff ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik. Er war bis zum Sommersemester 2009 am Studienkolleg der Universität zu Köln tätig und unterrichtet jetzt an der Europaschule in Kerpen. Er ist außerdem Lehrbeauftragter für Didaktik der Mathematik an der Universität zu Köln, Mitbegründer der Kölner Mathe-AG und Mitglied in verschiedenen Ausschüssen des Bundeswettbewerbs Mathematik.

• Mehr Informationen im Autorenverzeichnis
  Hier können Sie Kontakt mit Herrn Dr. Feldhoff aufnehmen. Zudem finden Sie hier weitere Lehrer-Online-Beiträge des Autors.

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