In dieser Unterrichtseinheit entdecken die Schülerinnen und Schüler die Ästhetik der Mathematik, indem sie künstlerische Bilder durch zur leicht verständlichen Aufgabenstellung "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" herstellen. Sie vermittelt viel Mathematik und bereitet Lernenden erfahrungsgemäß viel Freude, weil man sehr schön experimentell arbeiten kann.Die Aufgabe "Zeichne sehr viele Kreise durch einen Punkt" gelingt den Schülerinnen und Schülern auf verschiedenste Weise: per Hand und mit dem Computer, zum Beispiel mithilfe dynamischer Geometriesoftware, mit Computeralgebrasystemen oder Animationssoftware. Die Bearbeitung des Themas bietet vielfältige Variationsmöglichkeiten: Man kann zum Beispiel dazu übergehen, sehr viele Kreise durch mehrere Punkte zu zeichnen. Dabei wird insbesondere der Moiré-Effekt wirksam. Wenn man statt Kreisen andere geometrische Formen als Grundfiguren nutzt (zum Beispiel Strecken, Vierecke, Funktionsgraphen) lassen sich mathematische Kunstwerke produzieren, die ästhetische Aspekte der Mathematik erfahrbar machen.Die Problemstellung und ihre Fortführungen sind in unterschiedlichen Ausprägungen von Klasse 7 bis hin zum Abitur interessant und herausfordernd. Das Thema kann in den normalen Unterricht an verschiedenen Stellen eingebettet werden (zum Beispiel beim Lehrplaninhalt "Kreise" oder in der Analytischen Geometrie). Als Arbeitsform hat sich die Einzel- oder Partnerarbeit bewährt. Eine besondere Relevanz gewinnt die Problematik durch die experimentellen Arbeitsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Relationstypen, auch mit unterschiedlicher Software. Dazu kommen die sich anbietenden Aufgabenvariationen, die dann ein weites Feld von Mathematik eröffnen können. Auch algebraische und analytische Kenntnisse und Fähigkeiten kommen dabei immer wieder zum Tragen, etwa bei der Berechnung von Abbildungen wie Drehungen, zum Beispiel mit Matrizen. Abb. 1 liefert eine Übersicht der didaktischen Aspekte der Unterrichtseinheit.Die Schülerinnen und Schüler entwickeln Kompetenzen zum Umgang mit digitalen Werkzeugen. schulen ihre Kreativität und die Fähigkeit zur Aufgabenvariation. erleben ästhetische Aspekte der Mathematik. erkennen Verknüpfungen zu Moiré-Bildern. entwickeln Animationsstrategien. nutzen die Konzepte "Mehrfachanwendung" und "Arbeiten mit Modulen". arbeiten weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ. Lehmann, Eberhard Nachhaltige CAS-Konzepte für den Unterricht, Didaktik und Methodik des Mathematikunterrichts mit Computeralgebra, Berlin 2007 ( Infos im Netz ) Lehmann, Hergen; Lehmann, Eberhard Programmsystem Animato, Animationsprogramm, Anwendungen, Berlin 2007 ( Infos zur Software )

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Geometrische Beziehungen von Punkten, Vielecken und Kreisen" erfährt der Mathematikunterricht durch GeoGebra eine enorme Bereicherung: Die Schülerinnen und Schüler üben den Umgang mit Befehlen und Listen und erstellen durch die Kombination von Befehlen ein Dartboard. In dieser Unterrichtseinheit erstellen die Schülerinnen und Schüler durch den Einsatz von GeoGebra dynamisches Material zu Punkten, Vielecken und Kreisen und dessen geometrischen Beziehungen. Die Schülerinnen und Schüler erstellen mit Befehlen Konstruktionen und erzeugen mithilfe von Listen viele Objekte mit ähnlicher Struktur. Außerdem erstellen die Lernenden ein Dartboard durch die Kombination von Befehlen. Zuvor haben sie stets die Möglichkeit, an sehr anschaulichen, vorbereiteten Dateien zu experimentieren, um Erfahrungen zu sammeln und Gesetzmäßigkeiten zu erkennen. Durch die Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Außerdem entdecken die Schülerinnen und Schüler Möglichkeiten, mithilfe von GeoGebra die Anschaulichkeit zu erhöhen und schnell viele Objekte zu betrachten. Für diese Unterrichtseinheit sind Computer oder Tablets mit der Software GeoGebra notwendig. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler Flächeninhalte unterschiedlicher geometrischer Figuren ihrer Lebenswelt vergleichen, messen und schätzen. Mit GeoGebra lassen sich derartige Figuren einfach erstellen. Um Vergleiche durchführen zu können und sowohl Unterschiede als auch Gesetzmäßigkeiten zu erkennen, kann GeoGebra schnell viele "ähnliche" Objekte erstellen. Ebenso stellt es Möglichkeiten zur Verfügung, diese besonders optisch hervorzuheben. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler verwenden mathematische Darstellungen. lösen Probleme mathematisch und stellen sie am PC dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler produzieren und präsentieren. analysieren und reflektieren die Ergebnisse. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). arbeiten im Team und geben Hilfestellungen. stoßen durch offene Fragestellungen auf neue Ideen und zeigen Engagement und Motivation.

Überlässt man nach einmaliger Aufladung einen elektromagnetischen Schwingkreis sich selbst, so entsteht – vor allem wegen der unvermeidlichen Ohmschen Reibung – eine gedämpfte Schwingung, deren Amplitude sehr schnell gegen null gehen wird. Für viele technische Anwendungen wie etwa Radiowellen oder Mikrowellen benötigt man aber möglichst ungedämpfte Schwingungen, bei denen der stets auftretende Energieverlust durch technische Lösungen ausgeglichen wird. In diesem Beitrag werden beispielhaft zwei Schaltungen vorgestellt, die es ermöglichen ungedämpfte Schwingungen zu erzeugen. Dabei handelt es sich um die "Rückkopplungsschaltung nach Meißner" zur Erzeugung von sinusförmigen elektromagnetischen Schwingungen im niederen und mittleren Frequenzbereich sowie um die "Dreipunktschaltung" als Erweiterung der Rückkopplungsschaltung zur Erzeugung hochfrequenter elektromagnetischer Schwingungen. Beiden Schaltungen ist gemeinsam, dass der jeweilige Schwingkreis aus einer Spule und einem Kondensator besteht. Der ungedämpfte elektromagnetische Schwingkreis – Theorie und Beispiele Die anspruchsvolle Unterrichtseinheit zum ungedämpften Schwingkreis setzt gute bis sehr gute mathematische Kenntnisse voraus. Dies bedeutet, dass dieses Thema zum ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis nur im Rahmen der Kursphase der Sekundarstufe II behandelt werden kann. Vorkenntnisse Voraussetzungen für eine fundierte Beschäftigung mit dem ungedämpften elektromagnetischen Schwingkreis sind – neben Grundkenntnissen zu mechanischen Schwingungen – Kenntnisse über Auflade- und Entladevorgänge bei Kondensatoren, über die elektromagnetische Induktion und die Lenz'sche Regel sowie das Wissen über die Funktionsweise von Triode und Transistor. Didaktische Analyse Die Behandlung des anspruchsvollen Themas im Unterricht soll auch dazu führen, dass sich die Lernenden mit dem Aufbau und der Funktion von Geräten zur Erzeugung elektromagnetischer Schwingungen näher beschäftigen wollen. Das Thema ist auch sehr gut geeignet, die Bedeutung von Differentialgleichungen zur Erklärung und Berechnung von physikalischen Zusammenhängen den Schülerrinnen und Schülern näher zu bringen – nicht zuletzt in Hinblick auf andere noch ausstehende physikalische Herleitungen in der Kursphase. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler können die Funktionsweise von Triode und Transistor in Hinblick auf die Abläufe in einem elektromagnetischen Schwingkreis beschreiben. wissen um die große Bedeutung von elektromagnetischen Schwingungen in vielen Bereichen des täglichen Lebens. können anspruchsvolle Übungsaufgaben zur mathematischen Beschreibung der elektromagnetischen Schwingungen mittels Differentialgleichungen bearbeiten und lösen. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten, Hintergründe und Kommentare im Internet. können die Inhalte von Videos, Clips und Animationen auf ihre sachliche Richtigkeit hin überprüfen und einordnen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Partner- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. setzen sich mit den Ergebnissen der Mitschülerinnen und Mitschüler auseinandersetzen und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen. erwerben genügend fachliches Wissen, um mit anderen Lernenden, Eltern, Freunden wertfrei diskutieren zu können.

Die Lösungen einer quadratischen Gleichung müssen sich laut Theorie ja mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Aber wie geht das? Eine andere interessante Frage lautet: Wie kann man die komplexen Lösungen einer quadratischen Gleichung sichtbar machen? Der Blick über den reellen Tellerrand schafft dabei eine neue Sicht auf die Lösungen von Gleichungen.Quadratische Funktionen mit reellen Koeffizienten haben in R zwei Nullstellen, eine doppelte oder gar keine Nullstelle. Diese Lösungen kann man mit Zirkel und Lineal konstruieren, falls diese reell existieren. GeoGebra zeigt, wie es geht. Die analytische Bestätigung dieser Konstruktion stellt sich als sinnvolle algebraische Aufgabe. Im komplexen Zahlenbereich hingegen hat laut Hauptsatz der Algebra eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen (inklusive doppelte Nullstelle), die man im Funktionsgraphen aber nicht zu sehen bekommt, wenn sie komplex sind.Auf zwei verschiedene Arten sollen diese komplexen Lösungen sichtbar gemacht werden. Zum Einsatz kommen dabei die frei zugänglichen Mathematik-Programme GeoGebra und wxMaxima. Hinweise zum Unterrichtsverlauf Hier sind die Voraussetzungen und die verwendeten Materialien für diese Unterrichtseinheit genauer beschrieben. Anregungen und Erweiterungen Weitere Vorschläge zu Anwendungen mit höhergradigen Polynomen sind hier aufgeführt. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen die Problematik der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bewältigen. das Rechnen mit komplexen Zahlen üben. Funktionen mit zwei Variablen und deren Darstellung als Flächen im Raum kennen lernen. den Einsatz von Funktionen und Ortslinien in GeoGebra trainieren. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sollen im Umgang mit verschiedenen Software-Programmen vertraut werden. die Mathematiksoftware wxMaxima anwenden. die Mathematiksoftware GeoGebra anwenden. Thema Quadratische Gleichung Autor Georg Wengler Fach Mathematik Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3 Stunden Technische Voraussetzungen ein Rechner pro Schülerin und Schüler, die (kostenfreie) Software GeoGebra und wxMaxima sollte installiert sein. Literatur Richard Courant, Herbert Robbins Was ist Mathematik?, 5. Auflage Springer 2000, ISBN 3-540-63777-X, Seite 204 Inhaltliche Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler können quadratische Gleichungen ohne Mühe lösen. Sie verstehen das Konzept der komplexen Zahlen und können mit ihnen rechnen, etwa den Betrag oder das Einsetzen in einen quadratischen Term. Die Lernenden kennen den Hauptsatz der Algebra und verstehen seine Bedeutung für die Lösbarkeit von Gleichungen. Technische Voraussetzungen Die Unterrichtseinheit beinhaltet insgesamt fünf Online-Arbeitsblätter, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die mit GeoGebra erzeugten dynamischen Veranschaulichungen realisiert werden können, muss das Java Plugin (1.4.2 oder höher, kostenloser Download) auf dem Rechner installiert und Javascript aktiviert sein. Nachdem im komplexen Zahlenbereich eine quadratische Funktion immer zwei Nullstellen hat, sollen diese komplexen Lösungen auf zwei verschiedene Arten sichtbar gemacht werden: Mit der komplexen Funktion wird ein Kreis in eine aufgefaltete Bildkurve transformiert, die dynamisch zu den Lösungen führt. Der Real- beziehungsweise Imaginärteil der zugehörigen komplexen Funktion wird als Fläche im Raum dargestellt. Damit erhält man die Nullstellen in 3D-Ansicht. Kreiskonstruktion Die Methode der Konstruktion der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung wird mit GeoGebra demonstriert. Der Nachweis kann dann analytisch erfolgen. Das Arbeitsblatt ist als GeoGebra- und HTML-Datei verfügbar. Funktionen als Flächen im Raum Hier werden Funktionen mit zwei Variablen mithilfe von wxMaxima räumlich dargestellt. Der Aufwand mit wxMaxima hält sich dabei in Grenzen, vorausgesetzt, der Umgang mit dieser Software ist entsprechend eingeübt. Die grafische Umsetzung erlaubt Rotationen und somit die Betrachtung der Flächen von allen Seiten. Der Einsatz eines CAS-Programms erspart den manuell sehr mühsamen Weg komplexer Berechnungen, was die Konzentration der Schülerinnen und Schüler auf die theoretischen Zusammenhänge erhöht. Die wesentlichen Sachinhalte bestehen darin, dass der Realteil beziehungsweise der Imaginärteil einer komplexen Funktion je eine Fläche im Raum darstellt. Ein Beispiel sehen Sie in Abb. 1 (bitte zur Vergrößerung anklicken). Ihr Schnitt mit der xy-Ebene liefert die Spuren, auf denen die Lösungen liegen müssen. Sie ergeben sich tatsächlich als Schnitt dieser Spuren. Mit dem Betrag der komplexen Funktion ändert sich nichts am Funktionswert Null, es pointiert aber die Veranschaulichung der Nullstellen. Anwendung des Fundamentalsatzes Ein anderes Konzept ist die topologisch dynamische Umsetzung und Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra mit GeoGebra. Dabei wird ein Punkt P(a,b) mittels der Transformation f(x+iy) auf P' abgebildet. Zunächst soll man den Punkt P so verschieben, dass P' im Ursprung liegt, P stellt dann die Lösung dar. Systematische Untersuchung der Ebene Das für Arbeitsblatt 4 beschriebene Unterfangen ist eher mühsam, wenn man gar keine Ahnung von der Lösung hat, weil man ja die ganze Ebene durchsuchen muss. Es liegt also nahe, eine Kreislinie mit sich änderndem Radius zu wählen, um die Ebene systematisch zu durchwandern. Dies mögen Schülerinnen und Schüler selber überlegen oder aber man stellt das Arbeitsblatt 5 zur Verfügung. Legt man also P auf einen Kreis mit Radius r, so ist dessen Bild eine geschlossene Kurve. Während P den Kreis einmal durchläuft, macht der Bildpunkt P' in der Bildkurve so viele Umläufe, wie der Grad von f beträgt. Der Radius des Kreises ist nun so einzustellen, dass die Bildkurve durch den Ursprung geht. Anschließend dreht man den Punkt solange im Kreis, bis P' im Ursprung liegt. Zeichnerische Konstruktion Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann man etwa auf die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks zu sprechen kommen. Nullstellenkonstruktion Die Nullstellenkonstruktion im Komplexen funktioniert natürlich auch mit höhergradigen Polynomen, sowohl die Entfaltung mittels Kreistransformation in entsprechende Bildkurven als auch die Flächendarstellung im Raum. Konkret bieten sich primitive Kreisteilungsgleichungen der Form z n - 1 = 0 an. Eine solche Standardgleichung n.ten Grades hat genau n komplexe Lösungen. Das Schöne daran ist, dass diese alle auf einem Einheitskreis liegen und ein regelmäßiges n-Eck darstellen. Exemplarisch seien hier eine Kreisteilungsgleichung 3. und eine 5. Grades präsentiert.

Diese Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit den Grundlagen des elektrischen Widerstands, einer physikalischen Größe, die von Georg Simon Ohm im Jahr 1826 aus der Proportionalität von Spannung und Stromstärke gefunden wurde. Die Schülerinnen und Schüler lernen mit einfachen Versuchen, dass sich die den Stromfluss darstellenden Elektronen nicht reibungsfrei bewegen können. Vielmehr ist es so, dass es keinen Stromkreis ohne Widerstand gibt, wenn man den physikalischen Spezialfall Supraleitung außer Acht lässt. Der elektrische Widerstand ist vom Material, der Temperatur und anderen Größen wie Länge und Querschnittsfläche eines Leiters abhängig. Die Zusammenhänge werden den Lernenden über das Ohmsche Gesetz nähergebracht, das den Widerstand aus dem Quotienten von Spannung durch Stromstärke berechnet.Zunächst werden den Lernenden die Besonderheiten der Leitfähigkeit von Leitern - im Gegensatz zu Nichtleitern - vorgestellt. Der entscheidende Unterschied zwischen Leitern und Nichtleitern besteht darin, dass Leiter Elektronen in ihrer äußeren Schale besitzen, die bei Anlegen einer elektrischen Spannung die negativ geladenen Elektronen in Bewegung setzen. Anhand von Versuchen und zugehörigen Diagrammen erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass das Ohmsche Gesetz nur für bestimmte Leiter, wie etwa Konstantan, gilt. Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Einführung des spezifischen Widerstandes, der für die unterschiedlichen Materialien zu ermitteln ist. Der elektrische Widerstand als Thema im Physik-Unterricht Uns allen bekannte elektrische Anwendungen wie Radio oder Computer kannte der Erlanger Physiker Georg Simon Ohm im 19. Jahrhundert noch nicht. Mit seinen Experimenten hat er jedoch gezeigt, dass zwischen der an einen Leiter angelegten Spannung und der daraufhin durch ihn fließenden Stromstärke ein Zusammenhang bestand. Mit dem nach ihm benannten Ohmschen Gesetz hat Georg Simon Ohm bewiesen, dass unter bestimmten Voraussetzungen der Quotient zwischen Spannung und Stromstärke konstant ist. Er hatte mit der Konstante den elektrischen Widerstand und damit die wichtigste Grundlage vieler Berechnungen in der Elektrotechnik gelegt. Vorkenntnisse Vorkenntnisse von Lernenden dürfen nur dann erwartet werden, wenn sie sich bereits mit Elektro- oder Elektronik-Baukästen beschäftigt haben. Im Übrigen sind Spannung und Stromstärke als Begriffe sicher bekannt, den Wenigsten aber kaum die Zusammenhänge zwischen beiden. Didaktische Analyse Bei der Besprechung des Themas muss man darauf achten, den Lernenden klar zu machen, dass mit unterschiedlichen Widerständen in einem einfachen Stromkreis, aber auch in der Elektronik der Stromfluss durch die verschiedenen Bereiche des Stromkreises gesteuert werden kann. Methodische Analyse Der Begriff des Widerstandes lässt sich an verschiedenen Beispielen aus dem Alltag relativ leicht zeigen, wie etwa bei einem Schlauch, durch den man Wasser pumpen will: Man wird dabei schnell erkennen, dass dieselbe Menge an durchlaufendem Wasser bei einem dünneren Schlauch mehr Druck erfordert als bei einem dicken Schlauch. Mit anderen Worten setzt der dünne Schlauch dem dicken mehr Widerstand entgegen. Angewandt auf den elektrischen Widerstand kann man das problemlos mit einem dünnen und einem dicken Kabel gleicher Länge zeigen. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler wissen um die Bedeutung des Widerstandes in Elektrizitätslehre und Elektronik. kennen die Unterschiede zwischen Ohmschem Widerstand und spezifischem Widerstand. können Berechnungen in verzweigten Stromkreisen mit mehreren Widerständen anstellen. untersuchen die elektrische Leitfähigkeit von Stoffen experimentell (Leiter, Nichtleiter). lernen den Aufbau eines Stromkreises unter Vorgabe einer Schaltskizze durchzuführen sowie Stromkreise in Form von Schaltskizzen darstellen zu können. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler recherchieren selbständig Fakten, Hintergründe und Kommentare im Internet. können die Inhalte von Videos, Clips und Animationen auf ihre sachliche Richtigkeit hin überprüfen und einordnen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Partner- und Gruppenarbeit das Zusammenarbeiten als Team. setzen sich mit den Ergebnissen der Mitschülerinnen und Mitschüler auseinander und lernen so, deren Ergebnisse mit den eigenen Ergebnissen konstruktiv zu vergleichen.

Die hier vorgestellten Bausteine sind keine starre Unterrichtseinheit, sondern können auch in Wiederholungsphasen oder in besonderen Unterrichtsformen (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungen genutzt werden. Der Funktionenplotter Kurvenprofi wird dabei als Punkt- und Streckenplotter verwendet.Lange bevor Funktionen im Unterricht thematisiert werden, finden in den Klassen 5 und 6 Übungen im Koordinatensystem statt. So werden Punkte eingezeichnet und abgelesen, Spiegelungen und Verschiebungen vorgenommen und die Eigenschaften von Vierecken angewendet. Dies geschieht durch eine Beschränkung auf Punkte, Geraden, Strecken und eventuell Kreise. Der Computer bietet dabei die Möglichkeit, Schaubilder schnell anzufertigen, Vermutungen zu entwickeln und diese zu überprüfen. So sehr wir uns saubere Koordinatensysteme wünschen - wie viele davon kann eine Schülerin oder ein Schüler in einer Stunde zeichnen? Wie viel Zeit bleibt dann noch für die eigentliche Mathematik? Von diesem Problem befreit uns der Computer als Rechen- und Zeichenknecht. Er schafft Raum für das Experimentieren und ermöglicht eine schnelle Kontrolle der Ergebnisse (zum Beispiel Verwechselung von x- und y-Koordinate). Zudem müssen Schülerinnen und Schüler bei der Arbeit am Rechner nie fürchten, Falsches in ihren Heften zu ?verewigen?.Computer-Algebra-Systeme (CAS) sind für den Einsatz in Klasse 5 und 6 in ihrer Bedienung zu aufwändig. Ihre Möglichkeiten der graphischen Darstellung fallen gegenüber ihren sonstigen Fähigkeiten oft stark ab. Maßstabsgerechte Zeichnungen und interaktive Elemente (zum Beispiel Punkte, Strecken, Parametervariation, Tangenten, Krümmungskreise) sind - wenn überhaupt - nur mit Programmieraufwand zu erreichen. Funktionenplotter rechnen dagegen nur eingeschränkt oder gar nicht algebraisch. Sie sind auf Funktionsdarstellungen ausgerichtet und in der graphischen Darstellung den CAS oft überlegen, können aber selten für Punkte und Strecken verwendet werden. Dies habe ich zum Anlass genommen, für den von mir entwickelten Funktionenplotter Kurvenprofi Aufgaben zu erarbeiten, die diese Lücke schließen. Mit dem Kurvenprofi steht den Schülerinnen und Schülern nach einer kurzen Einarbeitungsphase ein Werkzeug zur Verfügung, dass in der gesamten Schulzeit bis zum Abitur für fast alle Probleme der zweidimensionalen Graphen eingesetzt werden kann. Einsatz der Arbeitsmaterialien Die Unterrichtsbausteine eignen sich für eine vielfältige Nutzung in Partnerarbeit. Arbeitsblätter und Kurvenprofi-Dateien Materialien und Screenshots zu den Themen "Straßen und Häuser", "Parallel und Senkrecht", "Vierecke" und "Schmetterlinge". Die Schülerinnen und Schüler sollen die Orientierung im Koordinatensystem erlernen. Punkte durch zwei Koordinaten angeben können. ihre Kenntnisse zur Benennung und zu den Eigenschaften verschiedener Vierecke vertiefen. die Eigenschaft "parallel" als Gleichheit der abgezählten Wege erkennen und anwenden. die Eigenschaft "senkrecht" als eine bestimmte Änderung des abgezählten Weges erkennen und anwenden. erkennen, dass Punkte im Koordinatensystem auch durch andere Angaben (Winkel, Länge) festgelegt werden können. Thema Übungen im Koordinatensystem mit Kurvenprofi Autor Ulrich Strautz Fach Mathematik Zielgruppe Klasse 5 und 6 Zeitraum etwa 1 Stunde pro Aufgabenblatt Technische Vorraussetzungen Windows-Rechner Software Kurvenprofi (kostenfrei für private Nutzung, Schullizenz 50 €) oder andere Funktionenplotter Die Beispielaufgaben für den Einsatz von Funktionenplottern stellen keine starre Unterrichtsreihe dar. Es handelt sich um Bausteine, die auch als Wiederholungseinheiten in Vertretungsstunden oder in besonderen Formen des Unterrichts (Wochenplan, Freiarbeit) als abwechslungsreiche Übungsformen genutzt werden und viele Diskussionsanreize bieten können. Die hier vorgestellten Aufgaben sind grundsätzlich für eine Partnerarbeit konzipiert. Diese Arbeitsform ist nicht nur wegen der äußeren Rahmenbedingungen (technische Ausstattung der Schule) oft vorgegeben, sondern auch sehr hilfreich, einen inhaltlichen Austausch der Schülerinnen und Schüler über die Aufgabenstellungen anzuregen. Häufig werden spielerische Elemente verwendet, die erreichen sollen, dass nach der gemeinsamen Problemlösungsphase die Fähigkeiten beider Partner gesichert werden, zum Beispiel durch einen Rollenwechsel. Alle Aufgaben, die in diesem Artikel vorgestellt werden, lassen sich außer mit dem Kurvenprofi mit sämtlichen Funktionenplottern umsetzen, die Punkte und Strecken zeichnen können. Für die Nutzung der entsprechenden KRV-(Kurvenprofi-)Dateien müssen Sie jedoch das Programm Kurvenprofi installieren. Dies steht Lehrkräften, Schülerinnen und Schülern für die private Nutzung kostenfrei zur Verfügung, eine Schullizenz ist für 50 € zu haben. Unter Hilfe/Beispiele/Einführung finden Sie im Programm eine leicht verständliche Einweisung. Die Schülerinnen und Schüler üben in den ersten Aufgaben die Bedienung des Programms, das Ablesen und Zeichnen von Punkten und Strecken sowie die Orientierung im Koordinatensystem. Dabei werden die Kenntnisse über die Koordinaten der Punkte wiederholt. Es zeigt sich hier schnell, dass das Schaubild bei einer Verwechselung der beiden Koordinaten unerwartete Ergebnisse zeigt, die schnell bemerkt, diskutiert und behoben werden können. "Das Haus vom Nikolaus" erfordert planvolles Handeln durch eine kleine Skizze und die Überlegung, in welcher Reihenfolge die Punkte abgelaufen werden. Zur inneren Differenzierung kann gefordert werden, nur eine festgelegte Anzahl der Punkte (einen durchgängigen Streckenzug) zu verwenden. Die Anregung, die Farben und Stricharten zu ändern, puffert unterschiedliche Bearbeitungszeiten ab. Mit dem Abzählen der x- und y-Änderungen erkennen die Schülerinnen und Schüler eine weitere Möglichkeit, die Eigenschaft "parallel" nachzuweisen oder parallele Strecken zu zeichnen. Zunächst werden in verschiedenen Übungen durch die Strecken bestimmte Abschnitte angeboten. Die letzten Aufgaben erfordern das Suchen geeigneter Punkte auf einer Geraden. Möglicherweise kann an dieser Stelle im Rahmen der Binnendifferenzierung schon von einigen Schülerinnen und Schülern die Nichteindeutigkeit der Pfeile durch Verdoppelung, Verdreifachung und weitere Vervielfachungen herausgearbeitet werden. Entsprechend wurde die Untersuchung der Eigenschaft "senkrecht" angelegt, wobei die vorangegangenen Aufgaben unter der geänderten Fragestellung gelöst werden sollen. Die Festigung des über die Eigenschaften "parallel" und "senkrecht" Gelernten geschieht in den Aufgaben zu Vierecken. Nach einer spielerischen Vorübung zu Koordinaten werden die Eigenschaften bestimmter Vierecke benötigt, um Figuren durch Änderung einzelner Punkte in vorgegebene Vierecke zu verwandeln und später Streckenzüge zu Vierecken zu ergänzen. Obwohl der Begriff des Steigungsdreiecks nicht verwendet wurde, haben die Schülerinnen und Schüler eine Idee gewonnen, die in späteren Unterrichtsreihen vielleicht mit Rückgriff auf diese Übungen leicht auf die Gerade und deren Senkrechte übertragen werden kann. Für den Fall, dass in Klasse 6 die Winkel und die negativen Zahlen behandelt wurden, bietet das Blatt "Schmetterlinge" eine spielerische Übung im Raten von Winkelgrößen und Längen. Auf höherem Niveau reift die Erkenntnis, dass ein Punkt im Koordinatensystem auch durch Angabe des Winkels und der Länge eindeutig festgelegt werden kann. Dabei wird der Begriff der Polarkoordinaten nicht genannt. (Welche Schülerinnen und Schüler finden heraus, dass Winkel und Länge eines Punktes nicht eindeutig sind?) Durch viele der hier vorgestellten Aufgaben ziehen sich Anknüpfungspunkte an spätere Themen. Explizit zu nennen sind die Steigung, die Steigung einer Senkrechten, Polarkoordinaten, aber auch die negativen Zahlen, die im Gegensatz zum üblicherweise eingeführten Koordinatensystem schon in Form der vier Quadranten auftreten. Durch leichte Variation der Aufgaben können diese auch in späteren Unterrichtsreihen als Einstiege verwendet werden. Wie schnell ragt ein Viereck in einen anderen Quadranten und bietet damit einen Unterrichtsanlass zur Zahlbereichserweiterung? Die hier vorgestellten Arbeitsblätter sind Bestandteil einer Aufgabensammlung für die Klassen 5-10, die auf der Kurvenprofi -Website in verschiedenen Formaten bereit steht (unter "Downloads").

In der Unterrichtseinheit zum Thema Kongruenzabbildungen erwerben die Lernenden mithilfe anschaulicher Elemente das Verständnis zur Achsenspiegelung, zur Punktspiegelung und zur Verschiebung von Punkten, Strecken und Figuren. Dabei nutzen sie die Software GeoGebra. Im Mathematikunterricht hilft Software dabei, Aufgaben zu lösen, die man auf dem Papier nur schwer lösen kann oder um Lösungswege anschaulicher darzustellen. Lernende können dadurch einen anderen Blickwinkel auf Fragestellungen erhalten. GeoGebra eignet sich hervorragend für den Einsatz in der Geometrie, denn die Software bietet viele Möglichkeiten mit interaktiven Materialien Inhalte zu erarbeiten. Lernende gehen mit unterschiedlichen Voraussetzungen an den Umgang mit einem Rechner. Durch die sehr einfachen GeoGebra-Aufgaben, die hier genutzt werden, werden viele Schülerinnen und Schüler beim Erarbeiten der Lösungen selten Hilfe benötigen – falls doch, steht unter anderem ein Begleittext mit detaillierten Hinweisen zur Verfügung. Durch die entstandenen Dokumente und der Möglichkeit, schnell Änderungen vornehmen zu können, werden die Lernenden angeregt, selbst Fragestellungen zu ermitteln. Während der Zeit, in der viele Lernende selbständig arbeiten, können diese auch bei einfachen Fragestellungen unterstützt werden, sodass jeder und jedemm der Einstieg in den Umgang mit GeoGebra einfach und auf dem eigenen Niveau ermöglicht wird. Das Arbeitsblatt ist in vier Teile unterteilt. Im ersten Teil des Arbeitsblattes wird der Begriff der Kongruenz vorgestellt. Im zweiten Teil wird thematisiert, welche Möglichkeiten es gibt, kongruente Flächen entstehen zu lassen. Im dritten Teil werden dann die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung und die Verschiebung mit interaktiven Experimentierdateien entdeckt. Diese unterstützen und veranschaulichen das Verständnis der Schülerinnen und Schüler im Umgang mit Kongruenzabbildungen und motivieren, selbst zu konstruieren. Außerdem wird das Konstruieren mit "Zirkel und Lineal" vorgestellt. Im letzten Abschnitt befinden sich Übungsaufgaben zum Konstruieren mit GeoGebra. Die Lernenden konstruieren dazu in der GeoGebra Software allein mit den Hilfsmitteln Zirkel und Lineal und dann mit allen Möglichkeiten, die die Software zur Verfügung stellt. Ziel des Arbeitsblattes ist es, Kongruenzabbildungen eines Kreises, eines Sterns und eines Dreiecks mithilfe der Achsenspiegelung, der Punktspiegelung und der Verschiebung zu konstruieren. Kleinschrittig konzipierte Aufgaben und Arbeitsblätter ermöglichen es den Lernenden, selbstständig oder in Paararbeit die Inhalte zu erarbeiten. Sollten bei leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern dennoch Schwierigkeiten auftreten, können die Musterlösungen als Begleitung verwendet werden. Zu jeder Aufgabe gibt es fertige Lösungen als Download. Lehrpläne sehen es vor, dass Schülerinnen und Schüler bestimmte Abbildungen als Kongruenzabbildungen identifizieren. Mit GeoGebra lassen sich Kongruenzabbildungen entdecken und Besonderheiten herausarbeiten. In dieser Unterrichtseinheit wird durch entdeckendes Lernen das Thema der Kongruenzabbildungen behandelt. Die Software unterstützt dabei, Hilfeleistungen individuell zu geben. Der Vergleich der Möglichkeiten des Konstruierens "mit Zirkel und Lineal" und "mit den vereinfachten Möglichkeiten von GeoGebra" erweitert zudem den Blickwinkel der Schülerinnen und Schüler über den Einsatz von GeoGebra. Fachbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler lernen mathematische Darstellungen kennen und verwenden diese. lösen mathematische Probleme und stellen diese am Rechner dar. modellieren mathematisch. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erforschen geometrische Beziehungen in interaktiven Dateien. verwenden computergestützte Software zum Konstruieren und Messen. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler erfahren Selbstwertgefühl und Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien). üben Teamfähigkeit und unterstützen sich gegenseitig. zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation, Lösungen zu entwickeln.

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen interaktiv die Gesetze der reibungsfreien Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn bei unterschiedlicher Gesamtenergie - vom Fadenpendel bis zum Looping.Winkelkoordinate, -geschwindigkeit und -beschleunigung sowie die aufzuwendende Radialkraft sind in einem Excel-Diagramm als Funktion der Zeit grafisch dargestellt. Durch kontinuierliche Veränderung des Parameters E (Summe aus kinetischer und potenzieller Energie) können die Diagramme dynamisch verformt und so die verschiedenen Bewegungsarten von der harmonischen Schwingung bis zum Looping beobachtet und analysiert werden. Die numerisch nach dem Halbschrittverfahren berechneten Diagramme, die man sonst im Unterricht und in der Literatur selten zu sehen bekommt, bieten einen beziehungsreichen Zugang zu vielen Aspekten der für die Jahrgangsstufe 11 vorgesehenen Lerninhalte.Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Rechner. Zentrales Medium ist neben der Excel-Datei das bereitgestellte Arbeitsblatt mit detaillierten Arbeitsaufträgen. Diese können je nach Intention und Umfang der Unterrichtseinheit auch nur teilweise eingesetzt oder auf verschiedene Abschnitte des Lehrplans verteilt werden. Wegen der Vielfalt der angesprochenen Themen (harmonische Schwingung, Energiesatz, beschleunigte Kreisbewegung, Kräftezerlegung, Newton'sche Grundgleichung F = ma und ihre prinzipielle Bedeutung für die Berechnung von Bewegungen) eignet sich das Material besonders zur vertiefenden Wiederholung oder für ein Projekt, in dem auch das numerische Verfahren und/oder fortgeschrittene Excel-Anwendungen thematisiert werden. Theoretischer Hintergrund, Realisierung in Excel, Einsatz des Materials im Unterricht Die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit der oben genannten kinematischen Größen mithilfe einer Excel-Tabelle bringt eine Reihe neuer Aspekte in den Unterricht, die hier erläutert werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen Diagramme physikalisch interpretieren und darüber sachgerecht kommunizieren. die Gesetze der Kinematik, insbesondere der harmonischen Schwingung und der Kreisbewegung, den Energiesatz und das Prinzip der Kräftezerlegung anwenden. die Grenzen analytischer Methoden und den Vorteil numerischer Lösungen erfahren. das Halbschrittverfahren analysieren (optional). fortgeschrittene Anwendungen in Excel praktizieren (optional). Thema Vom Fadenpendel bis zum Looping - Bewegung auf einer vertikalen Kreisbahn mit Excel Autor Dr. Hans-Joachim Feldhoff Fächer Physik oder fächerübergreifendes Projekt (Physik/Informatik) Zielgruppe Jahrgangsstufe 11 Zeitraum 3-6 Stunden Technische Voraussetzungen je 1 Rechner für 1-2 Lernende Software Microsoft Excel, ergänzend für die Lehrkraft: GeoGebra (kostenfreie Software) [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft Die Bewegung eines Körpers auf einer vertikalen Kreisbahn unter dem Einfluss der Erdanziehung (zum Beispiel in einer kreisförmigen Loopingbahn oder an einem Seil) wird im Unterricht gern als Anwendung der Gesetze der Kreisbewegung und des Energiesatzes behandelt. Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung und Radialkraft lassen sich in Abhängigkeit von der jeweiligen Position damit leicht berechnen. Zeitlicher Verlauf der kinematischen Größen Schwieriger ist die Darstellung der zeitlichen Abhängigkeit dieser Größen: Durch Zerlegung des Gewichts in eine radiale und eine tangentiale Komponente erhält man aus der Newton'schen Grundgleichung F = ma die Differenzialgleichung phi'' = -(g/r) sin(phi) für die gegen die Vertikale gemessene Winkelkoordinate phi . Die analytische Lösung führt auf ein elliptisches Integral, das nicht durch elementare Funktionen darstellbar ist [1]. Es muss daher ein numerisches Verfahren angewendet werden, um den zeitlichen Verlauf der kinematischen Größen im Diagramm darzustellen. Dies geschieht hier mithilfe des Halbschrittverfahrens, das zum Beispiel in [2] kurz beschrieben wird. Neben der Darstellung der kinematischen Größen in Diagrammen liefert dieses Verfahren auch eine numerische Bestimmung der Periodendauer T . Zusatzmaterial für Lehrpersonen Das "klassische" Berechnungsverfahren nach [1] kann mithilfe der GeoGebra-Datei "numerische_integration.ggb" nachvollzogen werden. Diagramme Die zum Download bereit gestellte Datei "vertikale_kreisbahn.xls" enthält die beiden Tabellenblätter "Diagramme" und "Berechnung". Bei den Diagrammen befindet sich ein Schieberegler, mit dem die Gesamtenergie E kontinuierlich von 0 bis 10 mgr verändert werden kann. Dieser Wert wird in der Berechnungstabelle übernommen. Der Kreisradius r ist auf 1 gesetzt und sollte nicht verändert werden. Die Schrittweite Delta_t des Halbschrittverfahrens ist auf vier Millisekunden voreingestellt. Sie kann nach Aufhebung des Blattschutzes verändert werden, um die Genauigkeit des Verfahrens zu analysieren. Berechnungstabelle Die eigentliche Berechnungstabelle enthält die Zeit t , die Winkelkoordinate phi , die Winkelgeschwindigkeit omega , die Winkelbeschleunigung alpha und die aufzuwendende Radialkraft, hier als Seilkraft F_Seil bezeichnet, die jedoch bei positivem Vorzeichen als nach außen gerichtete Stützkraft (zum Beispiel durch eine dünne Stange) interpretiert werden muss. Zusätzlich werden zur Darstellung der Bewegung für einige ausgewählte Punkte die kartesischen Koordinaten x und y berechnet. Berechnung und Visualisierung Für die Anfangsposition phi = 0 erhält man die Winkelgeschwindigkeit omega aus der Energie. Die übrigen Größen können aus phi direkt berechnet werden. Sodann werden sukzessive nach dem Halbschrittverfahren die nächsten Werte von omega und von phi und damit dann wieder die weiteren Größen berechnet. Es werden 750 Rechenschritte durchgeführt, so dass der Bewegungsverlauf während der ersten drei Sekunden in den auf der Tabelle basierenden Diagrammen dargestellt werden kann. Dies reicht für die Diskussion völlig aus. Die interaktive Arbeit mit den Diagrammen wird durch die Arbeitsaufträge in der Datei "vertikale_kreisbewegung.pdf" strukturiert. Den wesentlichen Teil bilden die Aufgaben zum physikalischen Inhalt: Die kontinuierliche Verformung der Kurven durch die Veränderung der Gesamtenergie E lässt sehr schön erkennen, wie sich aus einer anfänglich harmonischen Pendelschwingung ( E < < mgr ) allmählich eine nicht-harmonische Schwingung mit wachsender Periodendauer T entwickelt. wie für Ausschläge über 90 Grad die erforderliche Radialkraft das Vorzeichen wechselt (bei mgr < E < 2,5 mgr ). wie die Bewegung bei E = 2 mgr aus der Schwingung in einen Looping übergeht und dann für wachsende Werte von E bei abnehmender Umlaufzeit einer gleichförmigen Kreisbewegung immer ähnlicher wird. Die Arbeitsaufträge verlangen eine detaillierte Beschreibung und Interpretation dieser Beobachtungen. Daneben sind herkömmliche Aufgaben in das Arbeitsblatt integriert (Energiesatz, Kräfte bei der Kreisbewegung, harmonische Schwingung et cetera). Optional können zusätzliche Arbeitsaufträge zum Halbschrittverfahren und zu Excel zum Einsatz kommen. Letztere setzen fortgeschrittene Kenntnisse in Excel voraus und sind gegebenenfalls in einem fächerübergreifenden Projekt (Physik/Informatik) anzusiedeln. Während im physikalischen Teil nur mit den Diagrammen gearbeitet wird, werden hier Eingriffe in die Berechnungstabelle vorgenommen. Dazu empfiehlt es sich, vorher eine Kopie der Datei "vertikale_kreisbewegung.xls" anzufertigen, für die dann der Schreibschutz aufgehoben wird. [1] Courant Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer 1971 [2] Grehn/Krause Metzler Physik, 4. Auflage, Schroedel 2007

Das physikalische Standardthema Dopplereffekt wird durch den Bezug zu einem spannenden astronomischen Forschungsgebiet „gewürzt“. Neben Freihandexperimenten kommt auch ein Java-Applet zum Einsatz, mit dem man mit Sternen und Planeten "experimentieren" kann. Die Suche nach fremden Welten, die womöglich auch intelligentes Leben beherbergen, ist ein Faszinosum. Für die Einführung des Dopplereffekts bietet das aktuelle Forschungsgebiet der spektroskopischen Suche nach extrasolaren Planeten deshalb eine sehr gute Gelegenheit, Schülerinnen und Schüler zu motivieren. Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit wurde im Rahmen des Projektes Wissenschaft in die Schulen! erstellt. Der Dopplereffekt ist in vielen Bundesländern Bestandteil der Lehrpläne. In Bayern steht er zum Beispiel im Rahmen der Akustik (Jahrgangsstufe 11) sowie in der Lehrplanalternative Astronomie (Jahrgangsstufe 13) auf dem Programm. In Baden-Württemberg kann er als Phänomen bei elektromagnetischen Wellen behandelt werden. Unterrichtsverlauf und Materialien Vorkenntnisse, Hinweise zum Unterrichtsablauf und alle Materialien im Überblick (Grafiken, Applets und Arbeitsblatt) Die Schülerinnen und Schüler sollen Phänomenologisch in das Thema des akustischen Dopplereffekts eingeführt werden. ihr erworbenes Wissen durch Analogiebetrachtung auf den optischen Dopplereffekt übertragen. Thema Der Dopplereffekt und die Entdeckung von Exoplaneten Autoren Dr. Olaf Fischer Fach Physik, Astronomie Zielgruppe Sek II Zeitraum 2 Stunden Technische Voraussetzungen Rechner mit Internetzugang in ausreichender Anzahl oder Präsentationsrechner mit Beamer; Browser mit aktiviertem Javascript; Java Runtime Environment (kostenloser Download) Planung Der Dopplereffekt und die Entdeckung von Exoplaneten Folgende Themen sollten im Unterricht bereits behandelt worden sein: Schallwellen und elektromagnetische Wellen Grundbegriffe der Wellenlehre Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge Spektrum, Absorptionslinien Planetenbewegung Schwerpunkt Sinusfunktion Aufbau der Stunde Der Dopplereffekt soll als Phänomen eingeführt werden, das bei verschiedenen Wellenformen (Licht- und Schallwellen) auftritt. Man beachte dabei, dass der Dopplereffekt aber kein spezifisches Wellenphänomen ist. In der Einstiegsphase der Unterrichtseinheit dient die Betrachtung von Lichtwellen ferner Sternen zunächst "nur" der Motivation (Projektion von Exoplaneten in künstlerischer Darstellung, siehe Materialien). Danach wird der Dopplereffekt anhand von Schallwellen "erlebt" (Freihandexperimente mit der Stimmgabel) und kann einfach erklärt werden, bevor man sich wieder dem Licht der Sterne zuwendet. Eine ausführliche Darstellung des möglichen Unterrichtsverlaufs und Vorschläge zum Einsatz der Materialien finden Sie in dem Der Dopplereffekt und die Entdeckung von Exoplaneten . Analogiebetrachtung - akustischer und optischer Dopplereffekt Die Analogiebetrachtung zwischen den beiden Wellentypen spielt für den Erkenntnisgewinn und bei der Ergebnissicherung eine wesentliche Rolle. Sie findet in der tabellarischen Aufzeichnung an der Tafel beziehungsweise im Arbeitsblatt der Schülerinnen und Schüler ihren Niederschlag (dopplereffekt_exoplaneten_tabelle.rtf). Wichtig ist, dass den Lernenden die Grenzen der Analogie mit der gleichen Wertigkeit wie die Analogie selbst vermittelt werden. Für den Dopplereffekt ist die Betrachtung von Relativbewegungen von Sendern (und Empfängern) wichtig. Der Übergang vom einfachsten Fall (geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit) zu einer von außen betrachteten Kreisbewegung mit konstanter Bahngeschwindigkeit (Blickrichtung in der Kreisbahnebene) stellt eine hohe Anforderung dar. Es gilt die für den Dopplereffekt verantwortliche Radialgeschwindigkeitskomponente zu erkennen. Die Physik in der Schule lebt von Experimenten, die "leibhaftig" stattfinden und damit sinnliche Eindrücke hinterlassen. Für die Einführung des Dopplereffektes sind Freihandexperimente mit der Stimmgabel sehr gut geeignet. Java-Applets, die im Internet kostenfrei zur Verfügung stehen (zum Teil auch als Download), erlauben eine für die Abstraktion wichtige Veranschaulichung der physikalischen Zusammenhänge. So können die Schülerinnen und Schüler zum Beispiel mithilfe eines Java-Applets von Rob Scharein die Auswirkungen des Doppler-Effektes bei verschiedenen Sternen und Planeten (Sonne-Erde, -Jupiter, -Saturn, -Uranus, 51 Pegasi, Gliese 86) "experimentell" untersuchen. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt einen Screenshot des Applets. Jupiter ist blau, die Sonne weiß und der gemeinsame Schwerpunkt als roter Punkt dargestellt.

Diese Unterrichtseinheit informiert auf unterschiedliche Arten über das populäre Thema "Work and Travel in Australia and New Zealand" und verbindet landeskundliche Inhalte mit Aufgabenformaten einer Abschlussprüfung im Fach Englisch. Neben einer "viewing task" zum Einstieg stehen in der Einheit die skills "use of English" mit dem Schwerpunkt "grammar", "speaking" und "guided writing" im Mittelpunkt. Die Aufgabenformate entsprechen denen der Abschlussprüfung an bayerischen Realschulen.Die Vorbereitung der Schülerinnen und Schüler auf die Abschlussprüfung nimmt oftmals viel Zeit in Anspruch. Jedoch ist es nicht immer einfach passendes und thematisch ansprechendes Material zu finden. Diese Unterrichtseinheit nutzt als Aufhänger "Work and Travel in Australia and New Zealand" und liefert den Schülerinnen und Schüler viele wertvolle Informationen zum Work and Travel Programm mit Fokus auf Australien und Neuseeland. Gleichzeitig werden typische Aufgabenformate einer Abschlussprüfung wiederholt und eine Prüfungssituation simuliert. Prüfungstypische Aufgaben in dieser Einheit sind key word transformation , word families, mixed grammar , error spotting , speaking in Partnerarbeit (Bildbeschreibung, freie Meinungsäußerung, Diskussion) sowie guided writing. Weitere Aufgaben aus dem Bereich use of English finden sich in der komplementären Unterrichtseinheit Au Pair in the USA - final exam practice , dort liegt der Schwerpunkt auf den Kompetenzbereichen reading und vocabulary . Es empfiehlt sich, dass man die Aufgaben in Stillarbeit machen lässt, um so die Situation in der Abschlussprüfung optimal zu simulieren. Hauptaufgabe der Lehrkraft ist es, für Stille und eine angenehme Arbeitsatmosphäre zu sorgen und vorher die entsprechenden Materialien in ausreichender Anzahl bereit zu stellen. Vorkenntnisse Für die Durchführung der Einheit sind keine thematischen (landeskundlichen) Vorkenntnisse notwendig, da diese durch die Aufgaben vermittelt werden. Die Schülerinnen und Schüler sollten mit den verschiedenen Aufgabenformaten und grammatikalischen Inhalten vertraut sein, da diese für die Abschlussprüfung relevant sind. So liegt auch der Schwerpunkt der Einheit nicht auf der Wiederholung einer bestimmten Kompetenz, sondern auf der Kombination mehrerer skills zur Wiederholung und Festigung typischer Aufgabenstellungen einer Abschlussprüfung. Das Thema "Work and Travel" im Unterricht Für viele Schülerinnen und Schüler ist ein Jahr Work and Travel eine attraktive Alternative, um die Zeit nach der Realschule oder dem Gymnasium individuell zu gestalten und neue Erfahrungen und spannende Erlebnisse zu sammeln und fremde Kulturkreise kennen zu lernen. Die Jugendlichen können anhand eines Videos und Bildern in die Faszination und Schönheit der Länder im pazifischen Ozean eintauchen und erfahren in dieser Einheit aber auch was es heißt, sich ein Jahr lang den Aufenthalt und Lebenshaltungskosten selbst zu erarbeiten. Vielleicht kann die Einheit auch den einen oder anderen Schüler beziehungsweise die eine oder andere Schülerin dazu bewegen, sich nach der Schulzeit auf eine außergewöhnliche Reise zu begeben. Didaktisch-methodische Hinweise Die Unterrichtseinheit beinhaltet unterschiedliche (thematische) Erarbeitungsphasen und bietet sich abwechselnde Sozialformen, sodass es den Schülerinnen und Schüler große Freude bereiten dürfte, die unterschiedlichen Aufgaben (trotz einer simulierten Prüfungssituation) zu bearbeiten. Durch eine lebensnahe und spannende Thematik, die mit einer realistischen Vorbereitung auf die Abschlussprüfung verknüpft wird, ist ein hohes Maß an Motivation und Aufmerksamkeit gegeben. Viele der Aufgaben können die Schüler und Schülerinnen in ihrem eigenen Lerntempo bearbeiten, wodurch differenziert gearbeitet werden kann. Ebenso ist es möglich, dass die schnellen Schülerinnen und Schüler eine zusätzliche Aufgabe bearbeiten. Dadurch, dass es sich nur um Teile einer Abschlussprüfung handelt und nicht um eine komplette Arbeit, werden die Schülerinnen und Schüler auch nicht überfordert. Zur vertiefenden Vorbereitung auf die Abschlussprüfung ist es ratsam, auch die Unterrichtseinheit Au Pair in the USA - final exam practice durchzuführen, damit die Klasse möglichst viele Aufgabentypen auch aus dem Bereich reading und vocabulary üben kann. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler reaktivieren und erweitern ihr bereits vorhandenes Vorwissen zum Thema Work & Travel. wiederholen und üben verschiedene skills und grammatikalische Themen als Vorbereitung für die Abschlussprüfung. erhalten einen Einblick und Informationen zum Thema Work & Travel in Australien und Neuseeland. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler lernen den Umgang mit dem PC oder Laptop. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler sind diszipliniert bei der Stillarbeit. arbeiten gut und respektvoll in ihrem Partner oder ihrer Partnerin zusammen.

Diese Unterrichtseinheit zum Thema "Gravitationswellen" behandelt deren ersten indirekten Nachweis im Jahr 1974 durch Messung der Umlaufdauer eines Pulsars in einem Binärsystem. Zwei Neutronensterne, einer davon ist ein Pulsar, umkreisen sich auf stark elliptischen Bahnen. Dieses System stellt ein ideales Testlabor für die Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie dar. Dabei treten zwei relativistische Effekte besonders stark zutage: die Drehung der Bahn-Ellipse des Pulsars (Periastrondrehung) und die Verringerung der Umlaufdauer des Pulsars aufgrund der Abstrahlung von Gravitationswellen. Beide Effekte werden in dieser Unterrichtseinheit thematisiert, wobei der Schwerpunkt auf dem Thema Gravitationswellen liegt. Die Materialien nehmen Bezug auf ein Erklärvideo aus der Mediathek der Lindauer Nobelpreisträgertagungen. Zu diesem Video finden Sie bei Lehrer-Online noch zwei weitere Unterrichtseinheiten, welche die Sonnenfinsternis-Expedition im Jahr 1919 (1974) sowie den ersten direkten Nachweis von Gravitationswellen mithilfe von Laser-Interferometern im Jahr 2015 – also die Vorgeschichte beziehungsweise die weitere Entwicklung der Forschung in diesem Bereich – zum Inhalt haben und ergänzend zur vorliegenden Einheit im Unterricht eingesetzt werden können. Das Thema Gravitationswellen im Unterricht Das Thema Gravitationswellen berührt verschiedene Inhalte der Oberstufenphysik. Insbesondere sind Themen wie Gravitation, Kreisbewegungen und das Michelson-Interferometer von besonderer Relevanz – aber auch Grundkenntnisse der Physik Schwarzer Löcher und Neutronensterne spielen für das Verständnis des Phänomens Gravitationswellen eine wichtige Rolle. In den Lehrplänen sind die Allgemeine Relativitätstheorie und ihre Folgerungen gar nicht oder nur ansatzweise enthalten. Dennoch lassen viele schulinterne Curricula durchaus Luft für besondere Themen, wie zum Beispiel für das brandaktuelle Forschungsgebiet der Gravitationswellen-Astronomie. Gut lässt sich die Thematik in Astronomiekurse der Oberstufe, Projektkurse oder Arbeitsgemeinschaften einbauen. Didaktische Analyse Die Berechnungen zu Gravitationswellen beruhen auf der Allgemeinen Relativitätstheorie. Da diese in der Regel schulisch nicht thematisiert wird, ist die Frage berechtigt, ob ein Thema wie Gravitationswellen im normalen Schulalltag überhaupt so umgesetzt werden kann, dass der Unterricht über eine rein qualitative Betrachtung hinausgeht. Die Materialien dieser Unterrichtseinheiten zeigen, dass dies möglich ist, denn viele Rechnungen lassen sich zunächst rein klassisch, also mit der Gravitationsphysik Newtons, durchführen. Dass sich an einigen Stellen, wie beispielsweise bei der Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit der Schwarzen Löcher, dann eine deutliche Diskrepanz zu den Vorhersagen der Einsteinschen Physik zeigt, ist didaktisch positiv zu werten. Es ist aber auch didaktisch vertretbar, fertige Formeln aus der Relativitätstheorie vorzugeben und die Schülerinnen und Schüler nur die entsprechenden Rechnungen durchführen zu lassen. So lernen die Schülerinnen und Schüler zum einen, dass die Relativitätstheorie das geeignete Handwerkzeug zur Beschreibung extremer physikalischer Verhältnisse zur Verfügung stellt. Zum anderen erfahren sie aber auch, dass ihre Kenntnisse der Mathematik und Physik aus der Oberstufe ausreichen, um sich den Vorhersagen der Theorie und den veröffentlichten Messdaten zu nähern. Methodische Analyse Ein Ziel dieser Unterrichtseinheit besteht darin, dass die Lernenden erfahren, dass sie mithilfe oberstufenüblicher Inhalte aus Mathematik und Physik in der Lage sind, sich bestimmten Vorhersagen der Allgemeinen Relativitätstheorie von Albert Einstein zu nähern. Dies gelingt im Fall der Periastron-Verschiebung der Bahnellipse durch die Verwendung einer Computersimulation. Für die Berechnung der Umlaufdauer und des Abstandes der beiden Neutronensterne sowie des Energieverlustes aufgrund von Gravitationswellen werden Formeln der klassischen Physik (Newton) und eine Formel aus der Allgemeinen Relativitätstheorie bereitgestellt. Mithilfe von Daten aus Originalveröffentlichungen zur Physik des Neutronensternsystem PSR1913+16 sind die Schülerinnen und Schüler dann in der Lage, wichtige Größen des Systems für das Jahr 2020 vorauszuberechnen und mit der Prognose aus der Allgemeinen Relativitätstheorie zu vergleichen. Vorkenntnisse Die Lernenden sollten mit dem Gravitationsgesetz Newtons und der Physik der Kreisbewegungen vertraut sein und über Kenntnisse zu den Keplergesetzen verfügen. Die Berechnungen erfordern einen sicheren Umgang mit dem Taschenrechner, insbesondere die Behandlung von hohen Zehnerpotenzen und Zahlen mit vielen Nachkommastellen. Auch die Verwendung von Speicherstellen des Taschenrechners sollte beherrscht werden, da dies manche Berechnungen erheblich vereinfacht. Darüber hinaus sollten die Schülerinnen und Schüler keine Scheu vor großen Formeln haben. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… erkennen, dass die Drehung der Bahn-Ellipse den Vorhersagen der Relativitätstheorie entspricht. berechnen physikalische Größen mit komplexen Formeln. werten Messwerte aus. interpretieren und bewerten Versuchsergebnisse. erklären physikalische Phänomene und Versuchsanordnungen im Sachzusammenhang. stellen die wissenschaftliche Bedeutung von physikalischen Erkenntnissen heraus. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… können die im Video dargestellten physikalischen Inhalte nach Relevanz filtern und strukturiert wiedergeben sowie Informationen gezielt herausstellen. können Texte in gedruckter und digitaler Form nach bestimmten Fragestellungen hin untersuchen und die relevanten Informationen herausarbeiten. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler… arbeiten konstruktiv und kooperativ in Partner- oder Gruppenarbeit. diskutieren in Partner- oder Gruppenarbeit und äußern dabei ihre Meinung unter Nutzung ihrer fachlichen Kenntnisse. stellen Ergebnisse der Partner- und Gruppenarbeit angemessen und verständlich im Plenum dar. Müller, Andreas (2017). 10 Dinge, die Sie über Gravitationswellen wissen wollen. Berlin: Springer.

In dieser Unterrichtseinheit zum Thema trigonometrische Funktionen wird die Sinusfunktion fächerübergreifend als Schwingungsfunktion eingeführt. Darauf aufbauend kann die Trigonometrie als Anwendungsbereich behandelt werden.Die Winkelfunktionen werden üblicherweise am Dreieck oder Einheitskreis definiert. Phänomenbetrachtungen oder Experimente sind die Ausnahme und tauchen, wenn überhaupt, erst als Anwendung auf. Im Rahmen dieser Unterrichtseinheit wird die Sinusfunktion dagegen aus der Anwendung heraus als Schwingungsfunktion eingeführt. Die Trigonometrie erscheint als Nebenprodukt dieser Schwingungsfunktion. Dabei können Computeralgebrasysteme, einfache Funktionenplotter oder geeignete Java-Applets zur schnellen Überprüfung von Hypothesen eingesetzt werden. Die Schülerinnen und Schüler "spielen" dabei mit den Parametern Amplitude, Periodenlänge oder Frequenz, während die Folgen ihrer Experimente am Bildschirm dynamisch dargestellt und analysiert werden können. Mühsame und langwierige Zeichnungen bleiben ihnen erspart. Das Ziel dieser Einführung ist es, ohne größeren Zeitaufwand die vorgegebenen Lernziele auf einem neuen Weg zu erreichen und dabei ein besseres Verständnis der Sinusfunktion als Schwingungsfunktion zu vermitteln.Im herkömmlichen Unterricht wird der Sinus über Streckenverhältnisse im Dreieck eingeführt. Die Sinusfunktion wird mehr oder weniger als Erweiterung der Definitionsmenge plausibel gemacht. Dabei hat die Funktion eine sehr wichtige und auch anschauliche Anwendung: Die Beschreibung periodischer Vorgänge. Die Addition zweier Schwingungen mit geringem Frequenzunterschied kann zunächst hörbar erfahren werden (zum Beispiel durch das Überblasen zweier ähnlich gefüllter Flaschen oder mithilfe der klassischen Stimmgabeln aus der Physik). Danach experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit einem Funktionenplotter oder einem vergleichbaren digitalen Werkzeug. Unterrichtsverlauf "Sinusfunktion" Zunächst wird als periodischer Vorgang die Sonnenaufgangskurve untersucht. Rein harmonische Schwingungen werden dann mithilfe des Computers betrachtet. Bezug der Unterrichtseinheit zu SINUS-Transfer Weiterentwicklung der Aufgabenkultur, Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Bedeutung der Sinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verschiedener Perioden und Amplituden. erhören über das physikalische Phänomen Schwebung ein Additionstheorem. Untersuchung periodischer Vorgänge Nachdem die Schülerinnen und Schüler mit der Beschreibung der Natur durch Potenzfunktionen bereits mehr oder weniger vertraut sind, sollen als neue Funktionsklasse nicht gleich die Sinusfunktionen, sondern erst einmal beliebige periodische Vorgänge untersucht werden. Direkt am Phänomen können Amplitude und Periodenlänge als wichtigste Begriffe erfahren werden (Experimentvorschläge finden Sie auf den Arbeitsblättern 1 und 2). Dabei erscheint mir das Wort Periodenlänge (und nicht Periodendauer, Periode oder Schwingungsdauer) für die Beschreibung der Periode im Mathematikunterricht als am besten geeignet. Hier legt man sich nicht schon im Voraus auf zeitliche Perioden fest. Der Frequenzbegriff ist vom mathematischen Standpunkt aus erst einmal nicht nötig. Auch auf den Begriff der Winkelgeschwindigkeit verzichte ich, auch wenn seine konsequente Verwendung durchaus denkbar ist. Phasenunterschiede sind für das Phänomen an sich primär nicht von großer Bedeutung und werden deshalb vorerst nicht behandelt. Daher wird auch nur die Sinusfunktion und nicht zusätzlich auch noch die Kosinusfunktion eingeführt. Die Sonnenaufgangskurve als nichtphysikalisches Sicherungselement Die Begriffe Amplitude und Periodenlänge sollen erst hinreichend gesichert werden, bevor sich die harmonische Schwingungsfunktion als wichtigste periodische Funktion herauskristallisiert. Dazu eignen sich insbesondere Experimente aus der Akustik. Hier kann man Amplitude und Periodenlänge direkt hören und mit dem Oszilloskop sogar sichtbar machen. Als nichtphysikalische Sicherungselemente bieten sich insbesondere tages- und jahreszeitliche Perioden an. Ich habe mich für die Änderung der Sonnenaufgangszeit im Laufe des Jahres entschieden, weil dieses Problem zum Beispiel im Herbst höchst aktuell und schülernah ist. Die Sonnenaufgangskurve weicht zwar mit zunehmender geographischer Breite von einer Sinuskurve ab, diese Abweichungen betragen in Deutschland jedoch weniger als fünf Prozent. Definition der Funktion Erst nach der beschriebenen Einführung wird die Kreisbewegung ins Spiel gebracht und es erfolgt eine Beschränkung auf die rein harmonischen Schwingungen. Das klassische Experiment dazu ist die synchrone Projektion von Federpendel und Kreisbewegung eines Stiftes. Vor der Definition von sin(x) sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die harmonische Schwingungsfunktion keine Potenzfunktion sein kann. Das erste Mal in ihrer mathematischen Laufbahn können sie eine funktionale Abhängigkeit nicht aus den bekannten Rechenoperationen zusammenstellen. Eine neue Funktion muss definiert werden. Das hört sich einfacher an, als es ist, denn man bekommt bei einer solchen Definition sehr viele Freiheiten mit auf den Weg. Die Kurvenform ist zwar mehr oder weniger festgelegt, doch stehen die Achsenbeschriftungen noch völlig frei. Um hier zu steuern, werden die Schülerinnen und Schüler vorher in einem Arbeitsblatt die harmonische Schwingungskurve für eine Projektion eines Punktes auf einer Kreisbahn mit festem Radius genau zeichnen (Arbeitsblatt 4). Dadurch liegt es nahe, die neue Funktion im Bogenmaß zu definieren, nur der Radius sollte noch normiert werden. Argumente im Winkelmaß führte ich erst später ein. Um schnell von der Kreisbewegung zum Graphen der Sinusfunktion zu gelangen, bietet sich das Applet von Walter Fendt an (siehe externe Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Wer etwas mehr Zeit hat, kann seine Schülerinnen und Schüler natürlich auch auf die herkömmliche Art und Weise die Projektion des Einheitskreises mithilfe des oben genannten Arbeitsblattes durchführen lassen, diesmal allerdings vor dem Hintergrund einer echten Bewegung. Kartierung der Funktion Nach der Definition wird die Funktion zu Hause punktweise kartiert und erst anschließend mit der Taschenrechnertaste "sin" in Verbindung gebracht und als Ganzes möglichst genau gezeichnet. Damit die Schülerinnen und Schüler wirklich das Gefühl einer eigenen Definition haben, soll die Namensgebung sehr offen gestaltet werden. Ein weiterer Vorteil eines vorerst anderen Namens besteht darin, dass die Lernenden bei der Kartierung der Funktion nicht zum "Mogeln" mit dem Taschenrechner gedrängt werden. Einsatz des Computers Die "nackte" Sinusfunktion reicht zur Beschreibung der harmonischen Schwingungen noch nicht aus, sie muss verschoben, gestreckt und gestaucht werden. Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler lernen, zu vorgegebenen Funktionen der Art f(x) = A sin(B x) + C den zugehörigen Funktionsgraphen skizzieren zu können und umgekehrt zu festen Periodenlängen, Amplituden und Verschiebungen die zugehörige Funktion nennen zu können. Phasenverschiebungen werden aus den genannten Gründen nur kurz behandelt. Bei dieser Vorgehensweise bietet es sich außerdem an, auch die Überlagerung von Schwingungen und damit das Additionstheorem am Phänomen der Schwebung zu erfahren. Die Lernenden sollen das Additionstheorem hören (langsame Amplitudenschwankungen bei ähnlicher Frequenz wie die Grundtöne) und dann mithilfe eines CAS, eines Funktionenplotters oder eines geeigneten Java-Applets den Funktionsgraphen ermitteln. Abb. 1 (Platzhalter bitte anklicken) zeigt die Darstellung einer Schwebung mit dem CAS Derive, die durch Addition von sin(12x) und sin(13x) entsteht (verwendbare Online-Materialien wie zum Beispiel Java-Applets finden Sie unter den externen Links auf der Startseite dieser Unterrichtseinheit). Dabei werden die Begriffe Amplitude und Periodenlänge nochmals gesichert und gefestigt. Der Unterricht zur Trigonometrie basiert im Wesentlichen auf Aufgaben, bei dem es um Eigenschaften von Dreiecken geht. Die Einführung der Sinusfunktion bleibt ein Anhängsel. Erst in neuerer Zeit werden in Schulbüchern die periodischen Funktionen in diesem Zusammenhang besprochen. In dieser Unterrichteinheit soll der Spieß umgedreht werden: Die Sinusfunktion wird vor der Trigonometrie als logische Konsequenz aus der Untersuchung von Schwingungen eingeführt, die Trigonometrie folgt als praktische Anwendung. Dabei entstehen völlig neue Aufgabentypen, die die Vielfalt der Aufgabenkultur bereichern. In dieser Einheit sind dies einerseits komplexe Arbeitsblätter mit offenen Fragestellungen unter Einbeziehung des Computers, andererseits kleine Erkennungsaufgaben, wie man sie von den Parabeln kennt. Mathematik und Physik werden meist nur von Physiklehrkräften fächerübergreifend vermittelt. Damit vergeben die Mathematikerinnen und Mathematiker eine große Chance, Anschauliches mit rein Mathematischem zu verknüpfen. Mit dieser Unterrichtseinheit soll auch Nichtphysikern die Möglichkeit gegeben werden, fächerübergreifend zu arbeiten.