Rechnen in Restklassen

Anhand der Farbmuster der Tabellen lassen sich spielerisch Strukturen der Multiplikationstafeln entdecken und analysieren. Erkenntnisse über Besonderheiten der zu n teilerfremden Reste führen hin auf das reduzierte Restsystem und die Eulersche phi-Funktion. In einer Fortsetzung der Unterrichtsreihe können später auch Potenzen modulo n in analoger Weise mit gefärbten Tabellen untersucht werden.

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

• grundlegende Begriffe und Rechenregeln für das Rechnen in Restklassen kennen und anwenden.
• Multiplikationstafeln für Restklassen aufstellen und deren Strukturen, zum Beispiel Symmetrien, mithilfe von Einfärbungen erkunden und für andere verständlich beschreiben.
• Symmetrien von quadratischen Matrizen ("Tabellen") formal beschreiben.
• Argumentationen und elementare zahlentheoretische Beweise entwickeln.
• Die Werteverteilung von a x mod n (bei festem a und n) mithilfe der eingefärbten Multiplikationstafeln erkunden, beschreiben und die Aussagen formal beweisen.
• lineare Kongruenzen lösen.
• Multiplikationstafeln für das reduzierte Restsystem erzeugen und phi(n) für kleine n bestimmen.

Kurzinformation

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die Schülerinnen und Schüler arbeiten überwiegend in Kleingruppen. Wichtigstes Medium sind die hier bereitgestellten Arbeitsblätter, die zur Diskussion und Sicherung der Ergebnisse auch als Folien vorliegen sollten. Um die Vorwegnahme von Ergebnissen zu vermeiden, dürfen nicht alle in einer Datei enthaltene Arbeitsblätter gleichzeitig ausgegeben werden. Die zentralen Teile 2 und 3 dieser Unterrichtsreihe wurden für eine Arbeitsgemeinschaft begabter Schülerinnen und Schüler der Klassen 7-8 konzipiert. Der vorbereitende Teil 1 wurde in derselben Lerngruppe bereits in Klasse 5 behandelt.

• Hinweise zum Unterrichtsverlauf und Materialien
  Die Einheit besteht aus drei Teilen: (1) Einführung in Restklassen, (2) Multiplikationstafeln modulo n und ihre Symmetrien, (3) Werteverteilung von a x mod n, lineare Kongruenzen, phi-Funktion.

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Informationen zum Autor

Dr. Hans-Joachim Feldhoff ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik. Er war bis zum Sommersemester 2009 am Studienkolleg der Universität zu Köln tätig und unterrichtet jetzt an der Europaschule in Kerpen. Er ist außerdem Lehrbeauftragter für Didaktik der Mathematik an der Universität zu Köln, Mitbegründer der Kölner Mathe-AG und Mitglied in verschiedenen Ausschüssen des Bundeswettbewerbs Mathematik.

• Mehr Infos im Autorenverzeichnis
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