Von Kegeln zu höheren algebraischen Kurven und zurück

Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine harmlos erscheinende Aufgabe, in deren Zentrum die Maximierung eines Kegelvolumens steht. Das Problem wird zunächst praktisch, dann theoretisch angegangen und entwickelt sich schließlich zu einer verblüffenden Fundgrube von geometrischen Zusammenhängen. Im Laufe der Beschäftigung mit den verschiedenen Aspekten des Themas ergeben sich anspruchsvolle Fragestellungen.
 

Im ersten Teil der Unterrichtseinheit werden die Lernenden ausgehend von einer Reihe realer Papierkegel mit unterschiedlichen Öffnungswinkeln auf den nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Volumen eines Kegels und seinem Öffnungswinkel hingeführt. Nachdem dies rein intuitiv festgestellt wird, taucht dieser Aspekt in der algebraischen Herleitung der entsprechenden Formel wieder auf. Diese wird einer regulären Kurvendiskussion unterzogen, wobei sich bereits hier interessante Ergebnisse zeigen. Im zweiten Teil werden die Pfade des Lehrplans vorübergehend verlassen. Durch Spiegelung das Graphen der Volumenfunktion an den Koordinatenachsen entsteht eine Kurve, die im Weiteren vorbei an der Lemniskate von Jakob Bernoulli hin zur Tschirnhaus-Kubik führt. Die Kurven sollen dabei mit einem CAS erzeugt werden. Die Eigenschaft der Tschirnhaus-Kubik als Katakaustik der Parabel lässt sich dabei sehr einfach und schön mit einer dynamischen Geometriesoftware darstellen. Über die Kegelschnitte kommen die Lernenden von der Parabel zurück zum Ausgangskörper - dem Kegel. Dieser Zirkel zeigt einen großen Zusammenhang im Gebäude der Mathematik auf und soll dazu ermuntern, selbstständig auf weitere Entdeckungsreisen zu gehen.

 

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • Hypothesen über mathematische Zusammenhänge aus der Anschauung heraus formulieren können.
  • einen nichtlinearen Zusammenhang erkennen und herleiten können.
  • ein CAS zur grafischen Erzeugung von numerischen Näherungslösungen und höheren algebraischen Kurven bedienen können.
  • selbstständig nach mathematik-historischen Zusammenhängen im Internet und einschlägiger Literatur recherchieren.
  • in der Lemniskate von Bernoulli und der Tschirnhaus-Kubik exemplarische Vertreter höherer algebraischer Kurven kennen lernen.
  • weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaVon Kegeln zu höheren algebraischen Kurven und wieder zurück
AutorProf. Dr. Matthias Brandl
FachMathematik
Zielgruppeab Jahrgangsstufe 11; begabte Schülergruppen, "Pluskurse", Projektarbeit, AGs
Zeitraum4-6 Stunden
Technische Voraussetzungenvor allem im zweiten Teil: möglichst ein Computer pro Person
SoftwareCAS (zum Beispiel Derive, MuPAD Pro, Maple oder die Open-Source-Software Maxima), Dynamische Geometriesoftware (zum Beispiel GEONExT oder GeoGebra)

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die vorliegende Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 11 konzipiert, die bereit sind, sich intensiver mit einem Thema zu befassen. Sie bietet sich daher beispielsweise im Rahmen eines "Pluskurses", einer Projektarbeit oder einer AG an. Die abschießende Aufgabe (siehe "arbeitsblatt_kegel_algebraische_kurven"), in der die Lernenden selbstständig recherchieren sollen, welche tiefgreifende Verbindung es zwischen einer Parabel und einem Kegel gibt, ist bewusst offen gehalten. Sie soll die Schülerinnen und Schüler anregen, weitere Aspekte des Themas zu erkunden und forschend tätig zu werden. Eine Präsentation der eigenen Ergebnisse kann schließlich die Beschäftigung mit diesem Thema abrunden und sich - je nach Zusammensetzung und Bedürfnissen der Lerngruppe - auf die gesamte Thematik, einzelne Aufgaben oder den Ausblick beziehen.

  • Materialien und Literatur
    Hier können Sie die Materialien zum Beitrag einzeln herunterladen: Aufgaben, Geogebra-Applet, Beispiel-Code für das CAS Maple; außerdem finden Sie hier Literaturtipps.

Download

kegel_algebraische_kurven_material.zip
 

Internetadressen

Informationen zum Autor

Prof. Dr. Matthias Brandl ist Inhaber der Professur für Didaktik der Mathematik an der Universität Passau.

  • Mehr Infos im Autorenverzeichnis
    Hier können Sie Kontakt mit Prof. Dr. Matthias Brandl aufnehmen. Zudem finden Sie hier eine Liste mit allen Lehrer-Online-Beiträgen des Autors.
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