In dieser interaktiven Unterrichtseinheit lernen Schülerinnen und Schüler spielerisch, wie sich Vektoren bei einer Drehung um 90° und -90° verändern. Abwechslungsreiche Aufgaben, gezielte Reflexionsphasen und ein motivierender Wettbewerb mit Highscore-Liste sorgen für einen spannenden und nachhaltigen Zugang zum Thema. In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Drehung von Vektoren" ermöglichen Arbeitsblätter und interaktive Übungen den Schülerinnen und Schülern, sich selbstständig den Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Ur- und Bildvektor bei der Drehung um 90° beziehungsweise -90° anzueignen und auf unterschiedliche Aufgabenstellungen anzuwenden. Im Verlauf des Unterrichts kommen neben der geometrischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung auch vertiefende, interaktive algebraische Übungen zur Festigung des Erlernten und zur Unterrichtsdifferenzierung zum Einsatz. Zwischen dem Arbeiten mit digitalen Geräten liegen immer wieder Phasen, die die Computerarbeit unterbrechen. In diesen Phasen werden Ergebnisse verbalisiert, diskutiert und schriftlich festgehalten. Dabei kommt es zu einer wichtigen Entschleunigung der intensiven Arbeit am Computer. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende Motivation während der Übungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler ihre erreichte Punktezahl in eine Highscore-Liste eintragen können. Voraussetzungen Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits Kenntnisse von der Koordinatendarstellung eines Vektors besitzen. Ferner muss die Abbildung durch Drehung grundlegend im Unterricht behandelt worden sein. Das Arbeiten mit den interaktiven Übungen setzt keine speziellen Softwarekenntnisse voraus. Die Unterrichtseinheit selbst umfasst fünf herkömmliche Arbeitsblätter und sieben interaktive Übungen, die mit jedem Internet Browser und auf allen digitalen Endgeräten dargestellt werden können. Drehung um +90° - Erarbeitungsphase, Expertenvortrag und Zusammenfassung Nach der Erklärung der Funktionsweise der interaktiven Übung (oder Verwendung von Video 1) sollen die Schülerinnen und Schüler nun in einem ersten Schritt die von ihnen online gelösten Aufgaben ("Drehung um 90° - Einführung") auf dem von der Lehrkraft vorbereiteten und ausgegebenen Arbeitsblatt (Arbeitsblatt 1) festhalten. Beim Lösen der Aufgaben mit der Veranschaulichung sollen sie herausfinden, welcher allgemeine Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Vektoren besteht und diesen auf der Rückseite ihres Arbeitsblatts mit Bleistift schriftlich und in eigenen Worten fixieren. In einem zweiten Schritt sollen sie dann die Aufgaben ohne Veranschaulichung lösen, indem sie ihre vorher gefundene Regel anwenden und diese damit verifizieren oder falsifizieren. Im nächsten Unterrichtsschritt stellt eine Schülerin oder ein Schüler den gefundenen allgemeinen Zusammenhang in einem Expertenvortrag den Mitschülerinnen und Mitschülern vor. Die Lehrkraft fixiert die gefundenen Ergebnisse auf dem Arbeitsblatt 1. Im Anschluss daran übernehmen alle Schülerinnen und Schüler diesen Eintrag. Vertiefung durch Variation der Aufgabenstellung Nun folgt eine Vertiefung durch Variation der Aufgabenstellung. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Aufgaben der interaktiven Übung ("Drehung von Vektoren -Übung -1") bearbeiten. Dazu gibt die Lehrkraft das Arbeitsblatt 3 aus und bearbeitet im Klassenverband die erste Aufgabe ("Drehung von Vektoren um +90"). Die Lernenden scannen dann den QR-Code und gelangen so zur Aufgabe. Im Rahmen des Differenzierungsprozesses kann die Lehrkraft in diesem Unterrichtsabschnitt schwächere Schülerinnen und Schüler individuell fördern oder deren Arbeitsweise gezielt beobachten. Die Stellung der Hausaufgabe ("Arbeitsblatt Hausaufgabe - Teil 1") beendet die Drehung um +90°. Drehung um -90° Die unterrichtliche Vorgehensweise ist analog zur Drehung um +90°. Auch hier stehen das Video (Video 2), das Arbeitsblatt (Arbeitsblatt 2), die interaktiven Übungen ("Drehung um -90° - Einführung" und "Drehung von Vektoren -Übung 2-"), das Arbeitsblatt 3 mit der zweiten Aufgabe ("Drehung von Vektoren um - 90") und der zweite Teil des Hausaufgabenblatts zur Verfügung. Differenzierung in einer Folgestunde Im Unterricht kommt es häufig vor, dass leistungsstarke Schülerinnen und Schüler Aufgaben, die von allen gelöst werden, als langweilig empfinden. Sie fühlen sich nicht gefordert. Die Folge können auftretende Unterrichtsstörungen sein. Darauf sollten Lehrkräfte im Unterricht achten und Aufgaben bereitstellen, die dem entgegenwirken können. Während Schülerinnen und Schüler von Arbeitsblatt 3 die dritte Aufgabe und anschließend die interaktive Übung ("Drehung von Vektoren um ± 90") bearbeiten, können alternativ von leistungsstarken Schülerinnen und Schülern die Aufgaben auf dem Arbeitsblatt 4 in Verbindung mit den interaktiven Übungen ("Vektoren drehen - Profi -1-‘ und ‚Vektoren drehen - Profi -2-") bearbeiten. Fachkompetenz Die Schülerinnen und Schüler entdecken den Zusammenhang von Urvektorkoordinaten und Bildvektorkoordinaten bei der Drehung um 90° entdecken den Zusammenhang von Urvektorkoordinaten und Bildvektorkoordinaten bei der Drehung um -90° können die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben anwenden. Medienkompetenz Die Schülerinnen und Schüler experimentieren mit Darstellungen und lernen, dynamische Visualisierungen als Hilfsmittel zu nutzen. erkennen Verbindungen von Veranschaulichungen und Formeldarstellung. Sozialkompetenz Die Schülerinnen und Schüler stärken während der Paararbeit ihre Kommunikations- und Teamfähigkeit. üben sich in der verbalen Präsentation und Begründen von Ergebnissen.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.