In dieser Unterrichtseinheit zum Thema "Drehung von Vektoren" ermöglichen interaktive dynamische Arbeitsblätter den Schülerinnen und Schülern einen eigenständigen Zugang zu mathematischen Inhalten. Durch Experimentieren und systematisches Probieren gelangen sie zum Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Ur- und Bildvektor bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad.Die hier vorgestellte Unterrichtseinheit "Drehung von Vektoren mit GeoGebra" bietet neben einer mit GeoGebra entwickelten geometrischen Veranschaulichungs- und Experimentierumgebung eine javascript-basierte algebraische Übungsmöglichkeit zur Unterrichtsdifferenzierung. Eine zusätzliche, nicht zu unterschätzende Motivation während der Übungsphase bietet ein Wettbewerb, bei dem die Schülerinnen und Schüler ihre erreichte Punktezahl in eine Highscore-Liste eintragen können. Die Grundlage der Unterrichtseinheit bilden fünf interaktive Online-Arbeitsblätter, die es ermöglichen, Geometrie und Algebra in neuer Art und Weise miteinander zu verbinden.Die Schülerinnen und Schüler sollten bereits Kenntnisse von der Koordinatendarstellung eines Vektors besitzen. Ferner sollte die Abbildung durch Drehung grundlegend im Unterricht behandelt worden sein. Die Unterrichtseinheit basiert auf HTML-Seiten, die mit jedem Internet-Browser (zum Beispiel Internet Explorer oder Mozilla) dargestellt werden können. Damit die dynamische Veranschaulichung realisiert werden kann, muss Java 1.4 (oder höher) auf den Rechnern installiert sein. Unterrichtsverlauf Beschreibung der Unterrichtsstunden und Hinweise zum Einsatz der Materialien (Online-Materialien, Arbeitsblätter, Hausaufgaben) Die Schülerinnen und Schüler entdecken durch systematisches Probieren, Veranschaulichung und schrittweise Abstraktion den Zusammenhang von Urvektorkoordinaten und Bildvektorkoordinaten bei der Drehung um 90 beziehungsweise -90 Grad selbstständig. können die gewonnenen Erkenntnisse auf unterschiedliche Aufgaben anwenden. Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts Mit dem Button "Aufgabe erstellen" werden die Koordinaten eines beliebigen Vektors erzeugt. Im dynamischen Arbeitsblatt kann nun dieser Vektor durch Bewegen des Punktes P gezeichnet werden. Anschließend kann dieser Vektor gedreht und die Koordinaten des Bildvektors können abgelesen werden. Diese Koordinaten werden dann in das vorgesehene Feld auf der Webseite eingetragen (Abb. 1, Platzhalter bitte anklicken). Die Richtigkeit der Eingabe wird dann mit dem Button "Werte prüfen" kontrolliert. Erarbeitungsphase Nach der Erklärung der Funktionsweise des dynamischen Online-Arbeitsblatts sollen die Schülerinnen und Schüler nun in einem ersten Schritt die auf diese Weise gelösten Aufgaben auf dem von der Lehrkraft vorbereiteten und ausgegebenen Arbeitsblatt (vektoren_drehung_ab1.pdf) festhalten. Beim Lösen der Aufgaben durch Veranschaulichung sollen sie herausfinden, welcher allgemeine Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Vektoren besteht und diesen auf der Rückseite ihres Arbeitsblatts mit Bleistift schriftlich mit eigenen Worten fixieren. In einem zweiten Schritt sollen sie dann die Aufgaben ohne Veranschaulichung lösen, indem sie ihre vorher gefundene Regel anwenden und damit verifizieren oder falsifizieren. Expertenvortrag und Zusammenfassung Im nächsten Unterrichtsschritt stellt eine Schülerin oder ein Schüler den gefundenen allgemeinen Zusammenhang in einem Expertenvortrag den Mitschülern vor. Die Lehrkraft fixiert die Ergebnisse auf einer Folie, die dem Arbeitsblatt der Schülerinnen und Schüler entspricht. Im Anschluss daran übernehmen alle Schülerinnen und Schüler diesen Eintrag. Differenzierung und Vertiefung Nun folgt eine Vertiefung durch Variation der Aufgabenstellung. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Aufgaben des zweiten dynamischen Arbeitsblatts (Abb. 2) bearbeiten. Dessen Funktionsweise entspricht der des vorhergehenden. Eine Einführung durch die Lehrkraft entfällt damit. Schwächere und Schülerinnen und Schüler können in dieser Umgebung weitere Übungen auf dem Schwierigkeitsniveau der Einführungsaufgaben lösen oder weiter die Veranschaulichung nutzen. Im Rahmen des Differenzierungsprozesses kann die Lehrkraft in diesem Unterrichtsabschnitt schwächere Schülerinnen und Schüler individuell fördern oder deren Arbeitsweise gezielt beobachten. Wettbewerb Am Ende der Stunde steht ein rund fünfminütiger Wettbewerb, bei dem nach einem Neustart von Online-Arbeitsblatt 2 derjenige der Sieger ist, der die meisten Punkte erreicht. Als besonderer Anreiz besteht dabei die Möglichkeit, die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eintragen zu lassen. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich auf einem vorbereiteten Blatt (vektoren_drehung_hausaufgabe.pdf), das an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wird. Die Aufgaben orientieren sich dabei an den zuletzt gelösten Aufgaben. Die Stellung und Vorbesprechung der Hausaufgabe beenden die Unterrichtsstunde. Lernende, die über einen Internetzugang verfügen, können die Unterrichtsstunde zu Hause nacharbeiten und sich die in der nächsten Unterrichtsstunde eingesetzten Materialien ansehen. Einführung und Übung Das Vorgehen gleicht bis zum Wettbewerb der Unterrichtsstunde zur Drehung um 90 Grad. Dabei werden die Online-Arbeitsblätter 3 und 4 eingesetzt. Wettbewerb Da der Verlauf der Unterrichtsstunden identisch ist, gelangen die Schülerinnen und Schüler in sehr viel kürzerer Zeit zum allgemeinen Zusammenhang. Daher steht am Ende der 2. Unterrichtsstunde ein rund zehnminütiger Wettbewerb, bei dem ein Arbeitsblatt zum Einsatz kommt, das bei der Aufgabenstellung auch den Drehwinkel variiert und somit eine neue Anforderung stellt (Abb. 3). Da die Funktionsweise des dynamischen Arbeitsblatts den Schülerinnen und Schülern bereits bekannt ist, genügt ein Hinweis der Lehrkraft, dass nun auch der Drehwinkel zwischen 90 und -90 Grad variiert. Auch hier können die erreichten Punkte in eine Highscore-Liste eingetragen werden. Hausaufgabe Die Hausaufgabe findet sich wieder auf dem vorbereiteten Blatt, das bereits in der vorausgegangenen Unterrichtsstunde an die Schülerinnen und Schüler ausgegeben wurde.

Das Computeralgebrasystem MuPAD dient im Rahmen einer fächerübergreifenden Projektarbeit als Werkzeug zur Veranschaulichung der Entstehung von Marsschleifen. Kenntnisse über den Aufbau des Sonnensystems gehören zum Allgemeinwissen. Jedoch: "Das Bekannte überhaupt ist darum, weil es be kannt ist, nicht er kannt" (G.W.F. Hegel). Mit dem Wissen über den Aufbau des Sonnensystems sollte auch ein Einblick in die Geschichte der Erkenntnis seines Aufbaus verbunden sein und der Weg zu dieser Erkenntnis nachvollzogen werden. Die hier angebotenen Unterrichtsmaterialien sind als mögliche Zusammenfassung der Ergebnisse eines entsprechenden fächerverbindenden Projekts (Mathematik, Astronomie, Geschichte) zu betrachten. Vorbemerkungen zum Thema In der Entdeckungsgeschichte des Aufbaus unseres Sonnensystems mussten die Fakten der Beobachtung astronomischer Abläufe verbunden werden mit der Beurteilung der Bedingtheiten der Beobachtung. Das heißt, mit der Beobachtung selbst musste der Beobachter in den Blick genommen werden. In den Worten des Nikolaus Kopernikus: "Alles, was am Fixsternhimmel an Bewegung erscheint, geht nicht von diesem selber, sondern von der Erde aus". Die Beobachtungsdaten der Planeten sind verwirrend: Mal bewegen sie sich auf Kreisbögen, mal wird ihre Bewegung langsamer oder schneller, mal kommen sie für kurze Zeit scheinbar ganz zum Stillstand, mal erscheinen sie weniger lichtstark, mal mehr - was auf starke Unterschiede in der Entfernung von der Erde hindeutet. Vor allem beim Mars, dem Nachbarplaneten der Erde, beschreiben die beobachteten Positionen einen deutlichen "Looping" (Marsschleife) am Firmament. Fächerübergreifende Aspekte Die Thematik verknüpft Bereiche aus den Fächern Mathematik, Physik und Geschichte. Sie hat darüber hinaus auch philosophische Bezüge und bietet sich daher für ein fächerübergreifendes projektorientiertes Vorgehen an. Allein aus den unterschiedlichen mit der Entwicklung des astronomischen Weltbilds verbundenen Biografien und modellhaften Vorstellungen ergibt sich eine Vielzahl von Referats- oder Facharbeitsthemen. Die Möglichkeiten eines vertieften Eindringens in die Thematik sind enorm - deswegen sind auch die Angaben zum Zeitbedarf der Unterrichtseinheit lediglich als vage Vorgabe zu verstehen. Voraussetzungen und Hinweise zum Einsatz der Materialien Informationen zu den Materialien zum Thema Planetenschleifen Die Schülerinnen und Schüler sollen Epizykloiden als Verkettung zweier Drehungen beschreiben und zur Simulation des Planetenmodells von Tycho Brahe einsetzen können (Mathematik). die Peilung des Mars von der Erde aus betrachtet mathematisch als Gleichung einer Gerade im Raum beschreiben können (Mathematik). die Kräfte erkennen, die die Bewegung der Planeten beeinflussen und die Auswirkung des Fehlens dieser Erkenntnis auf die astronomischen Vorstellungen vor Kepler und Newton beurteilen können (Physik). wesentliche Entwicklungen in der Ausformung unseres astronomischen Weltbilds kennen und zusammenfassend beschreiben können (Geschichte). Thema Marsschleifen - die Entdeckung der Himmelsmechanik Autor Rolf Monnerjahn Fächer Mathematik, Astronomie, Geschichte Zielgruppe je nach mathematischem "Tiefgang" Klasse 10 oder Jahrgangsstufe 11/12 Zeitraum etwa 6 Stunden, fächerübergreifende Projektarbeit Technische Voraussetzung Verfügbarkeit von MuPAD/MathWorks Zur vertiefenden Beschäftigung mit der Thematik sei vor allem verwiesen auf: David L. Goodstein, Judith R. Goodstein, "Feynmans verschollene Vorlesung, Die Bewegung der Planeten um die Sonne", München 1998 Jürgen Teichmann, "Wandel des Weltbildes", München 1983 Für die Durchführung der hier angeregten Projektarbeit müssen für den mathematischen Teil Grundkenntnisse im Umgang mit MuPAD vorhanden sein (Prozeduren, Vektoren, Sequenzgenerator beziehungsweise Zählschleife). Tipps und Anregungen zum Einsatz des CAS bietet das vom Autor dieser Unterrichtseinheit verfasste Buch "MuPAD im Mathematikunterricht" (Cornelsen, ISBN: 978-3-06-000089-0). Die drei in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" aufgelisteten Programme/Befehlsabschnitte stellen für die wichtigsten Modelle der Astronomiegeschichte Simulationen zur Verfügung, die je nach unterrichtlichem Einsatz passiv aufgenommen oder (zum Beispiel in einem Mathematik-Leistungskurs im Rahmen der Analytischen Geometrie) von den Schülerinnen und Schülern selbst gestaltet werden können. Bei einer Durchführung der Unterrichtseinheit in Klasse 10 kann nicht auf den mathematischen Hintergrund der zweiten Simulation eingegangen werden, da für diese Methoden aus der Analytischen Geometrie benötigt werden. In jedem Fall leisten die Visualisierungen einen erheblichen Beitrag zur Steigerung des Vorstellungsvermögens. Sie zeigen, wie sich die Aufbereitung von Daten zur Grafik schrittweise aufbaut. wie astronomische Beobachtungen in der räumlichen Situation zu interpretieren sind. wie die Ableitung mathematisch unterschiedlicher Modelle aus Beobachtungsdaten in der grafischen Darstellung auf kleinem Maßstab zu kaum wahrnehmbaren Unterschieden führt, im astronomischen Maßstab aber überaus relevante Konsequenzen hat. Der in dem MuPAD-Notebook "marsschleifen.mn" dargestellte sachlogische und historische Abriss ist auf die elementaren Fakten reduziert - zum Beispiel wurde auf die Erwähnung des dritten Keplerschen Gesetzes völlig verzichtet. Damit wird der Priorität der Erkenntnis vor dem bloßen Kennen, der Priorität prozeduralen Wissens vor dem Faktenwissen Rechnung getragen. Die mathematischen Grundlagen und die Umsetzung mathematischer Beschreibungen in MuPAD-Kommandostrukturen werden in dem separaten Dokument "marsschleifen_mupad_befehle.pdf" dargestellt. Die Animation "animation_marszykloide.avi" veranschaulicht die Entstehung von Zykloiden des Mars nach dem Planetenmodell Tycho-Brahes. Für das Verständnis der Simulation sei verwiesen auf die Lehrer-Online-Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden . Mehr als zwei Jahrtausende lang wurde versucht, die gelegentliche Schleifenform der Marsbahn durch ein Modell zu deuten, das auch in der Aufsicht - also nicht nur in der Bahnebene - die Schleife als Bewegungsspur direkt erklärt: als Zykloide, also als Spur der Verkettung zweier Rotationen (siehe Unterrichtseinheit Bewegte Drehungen ? Zykloiden ). Erst die Verwendung hochexakt vermessener Bahndaten und die Frage nach den die Planeten bewegenden Kräfte brachten den Durchbruch zu heutigen Modell unseres Sonnensystems.