Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen

Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist eine Kugel im Raum, aus der durch geschicktes Aufsetzen von sechs Kegelhütchen ein neuartiger Körper mit interessanten Eigenschaften entsteht. Die Konstruktion führt schließlich zu den Platonischen Körpern, der Frage nach dichtesten Kugelpackungen und Euklid, der in der Tradition von Platons Sicht der Mathematik steht.
 

Die Unterrichtseinheit ist für begabte Schülerinnen und Schüler innerhalb eines Mathematik-Pluskurses oder einer Mathematik AG der Mittelstufe geeignet. Die verwendete POV-Ray-Software steht kostenfrei zur Verfügung. Geometrische Argumentationsaufgaben wechseln sich mit POV-Ray-Aufgaben zur Veranschaulichung der Ergebnisse ab. Der Schwierigkeitsgrad steigt von Aufgabe zu Aufgabe. Während der Arbeit an den POV-Ray-Konstruktionen ist eine Internetverbindung hilfreich, da die Schülerinnen und Schüler dann stets auf Online-Manuals zu POV-Ray zugreifen oder sich bei Problemen Hilfe über eine Suchmaschine holen können.

 

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • ihr räumliches Vorstellungsvermögen trainieren.
  • erkennen, dass zur Lösung räumlicher Lageprobleme oft elementargeometrische Überlegungen in geeigneten Schnittebenen ausreichen.
  • ein 3D-Programm (hier POV-Ray) zur grafischen Erzeugung von einfachen und zusammengesetzten Körpern erfolgreich bedienen können.
  • anhand eines mathematikhistorischen Originaltextes einen Beweis nachvollziehen.
  • anhand eines mathematikphilosophischen Originaltextes Einblick in eine mögliche (die platonische) Sichtweise auf die Mathematik gewinnen.
  • durch die Recherche über eine aktuelle mathematische Problemstellung einen Eindruck von der Entwicklung mathematischen Wissens (beziehungsweise mathematischer Wahrheiten) bekommen.
  • weitgehend eigenverantwortlich und kooperativ arbeiten.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaGeometrie mit POV-Ray - Platonische Körper und dichteste Kugelpackungen
AutorProf. Dr. Matthias Brandl
FachMathematik (Informatik)
ZielgruppeMathematik-Pluskurs, Mathematik AG, begabte Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe
Zeitraummindestens 4 Stunden
Technische Voraussetzungenein Computer pro Person oder Schülergruppe, möglichst mit Internetanschluss
SoftwarePOV-Ray (kostenfreier Download aus dem Internet)

Didaktisch-methodischer Kommentar

Die Schülerinnen und Schüler müssen mit dem Satz des Thales und dem Satz des Pythagoras vertraut sein und bereits Kegel im Unterricht behandelt haben. Ausgehend von der Betrachtung einer Kugel im Raum klären sie die ersten geometrischen Überlegungen durch die Anfertigung von geeigneten Schnittbildern. Dadurch werden Probleme der räumlichen Geometrie auf elementargeometrische Fragestellungen in der Ebene reduziert. Parallel wird das kostenlose 3D-Programm POV-Ray zur Visualisierung herangezogen. Als Grundlage dafür wird die Datei "basis.pov" zur Verfügung gestellt, welche einen Hintergrund, eine geeignete Kameraperspektive und eine Lichtquelle erzeugt. Darauf aufbauend sollen die Lernenden mithilfe geeigneter POV-Ray-Funktionen ("sphere", "cone" oder "cylinder") den betrachteten Körper sukzessive zusammenbauen und darstellen. Die Datei "basis.pov" ist so vorgefertigt, dass sich schnell erste Erfolgserlebnisse einstellen. Zudem werden auch die Lösungs-Codes zur Verfügung gestellt.

Download

platon_koerper_kugelpackung.zip
 
  • "loesung_geometrie_mit_povray.pdf" und "povray_loesungen.zip"
    Damit Ihre Schülerinnen und Schüler die Lösungen auch tatsächlich selbst erarbeiten, stellen wir die Lösungsvorschläge zum Arbeitsblatt "geometrie_mit_povray.pdf" nur im Bereich "Mein LO" zur Verfügung (Registrierung bei Lehrer-Online erforderlich).

Internetadresse

Zusatzinformationen

Deutschsprachige POV-Ray-Tutorials und Online-Einführungen

Literatur

  • Filler, A., Rieper, F.
    3D-Computergrafik … und die Mathematik dahinter, Verlag Jutta Pohl, Remchingen, 2007
  • Filler, A.
    Einbeziehung von Elementen der 3D-Computergrafik in den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II im Stoffgebiet Analytische Geometrie, Habilitationsschrift, 2007
  • Platon
    Der Staat, deutsch von Rudolf Rufener, dtv München, 4. Auflage, 2004
  • Euclides
    Die Elemente: Bücher I-XIII / von Euklid, aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von Clemens Thaer mit einem Vorwort von W. Trageser,  Reprint, 2. Auflage - Thun; Frankfurt am Main: Deutsch, 1996

Informationen zum Autor

Prof. Dr. Matthias Brandl ist Inhaber der Professur für Didaktik der Mathematik an der Universität Passau.

  • Mehr Infos im Autorenverzeichnis
    Hier können Sie Kontakt mit Prof. Dr. Matthias Brandl aufnehmen. Zudem finden Sie hier eine Liste mit allen Lehrer-Online-Beiträgen des Autors.
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