Zusammenhänge an den Feuerbachpunkten entdecken

Sind bei den Feuerbachpunkten und den Eulerpunkten auf und in einem beliebigen Dreieck mathematische Gesetzmäßigkeiten zu entdecken? Welche sind es? Welche Systematik lässt sich herauslesen? Haben die Vermutungen und Entdeckungen mathematischen Bestand?
 

Der Blick auf die Feuerbachpunkte, die auf und in einem beliebigen Dreieck liegen, führt zu vertiefenden durch Entdeckung gewonnenen geometrischen Vermutungen und Erkenntnissen, die durch die Behandlung von drei verschiedenen Beweistypen, abbildungsgeometrisch, kinematisch und "elementar", begründet werden können. Es bietet sich an, diese mit einer dynamischen Geometriesoftware, hier GeoGebra, nachzukonstruieren und zu beweisen. Das Konzept lässt sich aber auch ohne den  Einsatz Dynamischer Mathematiksoftware durchführen.

 

Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • Muster und Beziehungen bei den Feuerbachpunkten untersuchen und Vermutungen aufstellen (Lage auf einem Kreis, mathematische Eigenschaften der Punkte).
  • geeignete Werkzeuge zum Erkunden und zur Festigung ihrer Vermutungen wählen (Bleistift und Papier, Dynamische Geometriesoftware).
  • jeweils gleiche Probleme (Höhenfußpunkte, Seitenmitten und Höhenabschnitte) in Teilprobleme zerlegen.
  • aus der Lage der Feuerbachpunkte ihre geometrischen Eigenschaften im Zusammenhang von Vielecken (Dreiecken, Vierecken) und Kreisen (Umkreis, Feuerbachkreis) erkennen (unter anderem elementare geometrische Eigenschaften, Ähnlichkeitsbeziehungen, geometrischer Ort) und diese im Rahmen des Problemlösens zur Begründung der Sachzusammenhänge nutzen.
  • Lösungsansätze vergleichen und bewerten und bei gleichen Lösungsansätzen Beweise in Gruppenarbeit entwickeln (abbildungsgeometrisch, elementar, kinematisch).
  • Lösungswege, Argumentationen und Darstellungen in kurzen vorbereiteten Beiträgen präsentieren.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaMathematische Zusammenhänge an den Feuerbachpunkten entdecken
AutorWolfgang Piechatzek
FachMathematik
ZielgruppeKlasse 8-9, begabte Schülerinnen und Schüler, Mathematik-AG
Zeitraum6-8 Zeitstunden
Technische VoraussetzungenJe ein Computer für 1-2 Lernende, es reicht auch ein Präsentationsrechner mit Beameranschluss; gegebenenfalls Dynamische Geometriesoftware (GeoGebra, kostenfrei)

Didaktisch-methodischer Kommentar

Behandlung des Feuerbachkreises
Den Feuerbachkreis kann man im Unterricht auf unterschiedliche Art behandeln:

  • Der Feuerbachkreis eines Dreiecks berührt seine drei Ankreise und seinen Innenkreis.
  • Der Feuerbachkreis kann als geometrischer Ort definiert werden.
  • Der Zusammenhang des durch die Feuerbachpunkte belegten Feuerbachkreises mit einem Dreieck und seinem Umkreis können untersucht werden.

Formulierung und Beweis des Feuerbachsatzes
Die zweite und dritte Alternative werden hier vorgestellt. Durch die Vorgabe der Feuerbachpunkte und der Eulerpunkte eines Dreiecks mit seinem Umkreis (Datei: "feuerbach-Euler-Punkte.ggb") wird eine offene Situation geschaffen, in der überraschende Entdeckungen gemacht und vielseitige Vermutungen aufgestellt werden können. Möglich - aber nicht erforderlich - ist es, die Eulerpunkte vorher behandelt zu haben. Die Vermutungen und Entdeckungen führen auf die Formulierung des Feuerbachsatzes, den es zu beweisen gilt. Je nach den Ideen der Schülerinnen und Schüler führt dies zu einem abbildungsgeometrischen, kinematischen und / oder "elementaren" Beweis. Das soll offen gelassen werden. Man kann sich mit der Behandlung eines Beweistyps begnügen. Bei unterschiedlichen Beweisansätzen der Lernenden können sich auch Schülergruppen bilden, die jeweils einen Beweistyp weiter verfolgen, erarbeiten und vorführen. Das Projekt wurde mit begabten Schülerinnen und Schülern in Jahrgangsstufe 8/9 erfolgreich durchgeführt und bei der MNU-Tagung in Köln 2008 von den Lernenden vorgestellt.

  • Hinweis zum Unterrichtsverlauf und Materialien
    Die Unterrichtseinheit besteht aus drei Teilen: 1. Entdeckung an den Feuerbachpunkten und Formulierung des Satzes über den Feuerbachkreis, 2. Vorbereitung der Beweise, 3. Beweis des Satzes über den Feuerbachkreis.

Download

feuerbachkreis_materialien.zip
 

Informationen zum Autor

Wolfgang Piechatzek ist Gymnasiallehrer mit den Fächern Mathematik, Erdkunde und Informatik und Fachleiter für Mathematik und Hauptseminarleiter am Studienseminar Jülich im Ruhestand. Er ist Lehrbeauftragter für Didaktik der Mathematik an der Universität zu Köln und Mitbegründer der Kölner Mathe-AG.

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