Das Hühnerei mathematisch modellieren

Unterrichtseinheit

Diese Unterrichtseinheit hat das mathematische Modellieren eines Hühnereis zum Ziel. Dazu werden zunächst Schnittflächen von Ebenen mit einem Würfel sowie Rotationsebenen und daraus entstehende Körper betrachtet und dann mithilfe der Differential- und Integralrechnung Volumen und Oberflächeninhalte bestimmt. Die Inhalte werden mit GeoGebra visualisiert.

  • Mathematik / Rechnen & Logik
  • Sekundarstufe II
  • 4 Unterrichtsstunden
  • Interaktives Quiz, Ablaufplan, Übung, Software, entdeckendes Lernen
  • 9 Arbeitsmaterialien

Beschreibung der Unterrichtseinheit

In dieser Unterrichtseinheit werden die Lernenden mit vier Arbeitsblättern zur Idee herangeführt, wie sie mithilfe der Differential- und Integralrechnung ein Hühnerei vermessen können. In allen Arbeitsblättern steht der Einsatz von GeoGebra zur Visualisierung im Mittelpunkt.

  • Auf dem ersten Arbeitsblatt werden Schnitte eines Würfels mit Ebenen betrachtet. Die Art der Schnittflächen hängt stark damit zusammen, wie die schneidende Ebene bezüglich des Würfels verläuft. Da sich die schneidende Ebene bewegt, lassen sich unterschiedliche Konstellationen betrachten.
  • Auf dem zweiten Arbeitsblatt werden diese Betrachtungen durch weitere Lagen und Bewegungsmöglichkeiten der Ebenen bezüglich des Würfels erweitert und es erfolgen Betrachtungen von Schnitten mit weiteren Körpern. Es werden vor allem auch Körper mit gekrümmten Oberflächen betrachtet. Den Lernenden wird verdeutlicht, dass die Kenntnis der Schnittflächen ausreicht, um Körper zu beschreiben. Kenntnis von Maßzahlen wie Höhen und Längen und anderer beschreibender Größen führen zu einem bekannten Formelapparat für Volumen und Ober- beziehungsweise Mantelflächen. Eine interaktive Übung dient als Ergänzung zum Arbeitsblatt.
  • Auf dem dritten Arbeitsblatt findet ein Übergang zur Differential- und Integralrechnung statt. Rotationskörper, die durch die Rotation einer Fläche um eine Achse entstehen, können mithilfe der Differential- und Integralrechnung erfasst werden. Anwendungen zu Körpern, die durch Rotation eines Halbkreises, der Wurzelfunktion oder einer Parabel entstehen, werden erarbeitet. Drei interaktive Übungen dienen als Ergänzung zum Arbeitsblatt.
  • Auf dem letzten Arbeitsblatt geschieht der Übergang vom Halbkreis über Ellipsen zur "Eiform". Neben den Möglichkeiten durch Integration und Differentiation exakte Maßzahlen zu bestimmen, wird auch die Möglichkeit einer Annäherung thematisiert, um das Hühnerei möglichst exakt rechnerisch erfassen zu können. Wo Berechnungen von Hand mühsam – ja teilweise unmöglich – sind, können mit dem Einsatz von GeoGebra den Körpern Maßzahlen zugeschrieben werden. Am Bespiel der Körperform eines Eies wird aber auch gezeigt, dass die Software an Grenzen stößt.

Unterrichtsablauf

Inhalt
Sozial- / Aktionsform

Didaktisch-methodischer Kommentar

Für die Betrachtung eines eiförmigen Körpers werden zunächst die Formelapparate für die Körper Zylinder, Kegel und Kugel erarbeitet, sodass mit Radien, Längen und Höhen Volumen, Mantel- und Oberfläche bestimmt werden können. Im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung werden schließlich komplexere Rotationskörper mithilfe bestimmter Integrale berechenbar. Da für eine Ellipse und für ein Ei die Integrandenfunktionen zu komplex für händisches Rechnen werden, nutzt man CAS. Mithilfe mehrerer GeoGebra Simulationsdateien wird den Lernenden das Arbeiten mit der Integral- und Differentialrechnung vorgestellt, bis hin zu einem eiförmigen Körper.

Interaktive Übungen dienen als Ergänzung zur Unterrichtseinheit.

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Vermittelte Kompetenzen

Fachbezogene Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler

  • gewinnen Erkenntnisse zu verschiedenen Schnittflächen und Rotationskörpern durch experimentellen Umgang mit GeoGebra.
  • wiederholen Teile des bekannten Formelapparates für Oberflächen und Volumen.
  • erweitern und festigen Kenntnisse im Zusammenhang der Differential- und Integralrechnung.

Medienkompetenz

Die Schülerinnen und Schüler

  • experimentieren mit interaktiven GeoGebra-Dateien.
  • setzen mobile Endgeräte im Unterricht zur Modellierung des Hühnereis ein.
  • analysieren und reflektieren mit von GeoGebra erzeugten Rotationskörpern.

Sozialkompetenz

Die Schülerinnen und Schüler

  • steigern ihr Selbstwertgefühl und ihre Eigenverantwortung (Rückmeldungen zu Lösungsstrategien sowie Rückmeldungen und Hinweise beim Erarbeiten von Lösungen).
  • lernen sich selbst durch die Differenzierungsmöglichkeiten in den Aufgabenstellungen einzuschätzen.
  • zeigen durch offene Fragestellungen Engagement und Motivation und stoßen auf neue Ideen durch das Experimentieren in den Experimentierecken der verschiedenen Einheiten.

Autor

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Wolfgang Motzer

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