Hinweise zur Durchführung im Unterricht

Die Schülerinnen und Schüler erarbeiten sich verschiedene Zugänge zu Tschebyscheff-Polynomen.

Aufgabenstellungen zu T-Polynomen

Es existiert ein formaler Zusammenhang zwischen T-Polynomen erster und zweiter Art:

Einsatzstrategien

  • Ein Polynom wird auf der Basis von vorgegebenen Daten im Bereich [-1,1]x[-1,1] eingefangen.
  • Für die T-Polynome gibt es verschiedene Arten von Zugängen und Formulierungen, die in diesem Rahmen aufgezeigt und erarbeitet werden.
  • Die rekursive Struktur der T-Polynome erster und zweiter Art wird erarbeitet.
  • Eine ausführliche Kurvendiskussion der Polynome stärkt den Umgang mit trigonometrischen Funktionen.
  • Die Eigenschaften der T-Polynome werden ausführlich diskutiert.


Aus der Reihe der Anwendungsmöglichkeiten von T-Polynomen sei auf den Einsatz in der polynomialen Interpolation näher hingewiesen (Abb. 1). Wenn man eine Funktion mit einem Polynom interpolieren möchte und dabei äquidistante Stützstellen verwendet, dann zeigt sich, dass der Graph der Polynomfunktion zu den Intervallrändern hin zu oszillieren tendiert. Um dies zu vermeiden, ist es günstiger, in der Nähe der Intervallgrenzen die Stützstellen enger zu wählen. Dies leisten gerade die Nullstellen der T-Polynome, die auch als Tschebyscheff-Knoten bezeichnet werden. Möchte man also eine Funktion mit geeigneten Stützstellen möglichst gut approximieren, dann kann man bei Bedarf die Nullstellen auf ein beliebiges Intervall [a,b] umrechnen:

Beispiel auf dem Intervall [-5,5]:

Die äquidistanten Stützstellen sind {-5,-4,...,4,5} und führen zu einer oszillierenden polynomialen Interpolation.

 

Die Tschebyscheff-Stützstellen lauten hingegen:

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Avatar Georg Wengler

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