Weitere dynamische Arbeitsblätter zu Parabeln

Hier finden Sie Erläuterungen zu den restlichen fünf Arbeitsblättern dieser Lernumgebung.

Parabeln als Ortslinie besonderer Punkte

4. Berührkreise

Die Ortskurve der Mittelpunkte des Berührkreise eines Kreises und seines Durchmessers liegt anscheinend auf einer Parabel. Die Schülerinnen und Schüler sollen nach Einführung eines Koordinatensystems die Ortskurvengleichung aufstellen und nachrechnen, dass es sich dabei um eine quadratische Funktion handelt. Nötig sind auch hier wieder Kenntnisse über den Satz des Pythagoras. In Verallgemeinerung wird abschließend die Ortskurve abhängig vom (variablen) Kreisradius bestimmt. Unterstützt werden die Berechungen jeweils durch dynamische Darstellungen der Berührkreise und ihrer Mittelpunkte.

5. Parabeln und der Höhensatz

Voraussetzung ist hier die Kenntnis des Höhensatzes aus der Satzgruppe des Pythagoras. Dieser wird anfänglich anhand einer dynamischen Zeichnung wiederholt. Eine "merkwürdige" Dreieckskonstruktion soll von den Lernenden zunächst analysiert werden und führt bei Aufgabe 3 zur Vermutung, dass man als Spur von P den Graph einer quadratischen Funktion erhält. In den folgenden Aufgaben wird das Dreieck in einem Koordinatensystem betrachtet und die Ortskurve und weitere quadratische Funktionen berechnet.

Parabel aus symmetrischem Trapez
+Abb. 2: Trapez & Parabel

6. Parabeln aus symmetrischen Trapezen

Zunächst experimentieren die Schülerinnen und Schüler mit beliebigen symmetrischen Trapezen und gelangen zu der Einsicht, dass es solche mit und ohne Inkreis gibt. Dann werden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, die Ähnlichkeit von drei Dreiecken in einem halben Trapez zu begründen. Um die Gleichung der Ortskurve des Eckpunktes D zu erhalten, wird auch hier wieder ein Koordinatensystem zugrunde gelegt (siehe Abb. 2). Verallgemeinerung: Schließlich können mittels der Trapezkonstruktion Parabeln mit variablem Formfaktor erzeugt und berechnet werden.

7. Parabeln mithilfe des Strahlensatzes

Die erste Aufgabe ist dazu da, den Strahlensatz zu wiederholen. Die dynamische Darstellung erlaubt es, alle möglichen Situationen (X- und V-Figur) zu erzeugen. In der zweiten Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler beobachten und erklären, wie diese besondere Strahlensatzkonstruktion zustande gekommen ist. Durch Rückgängigmachen und Wiederherstellen lässt sich die Konstruktion genau analysieren. Damit sind die Lernenden in der Lage, eine Gleichung zwischen den auftretenden Größen aufzustellen (Ausnutzung des Strahlensatzes). Bei Aufgabe 3 werden x und y in ein Koordinatensystem übertragen - somit lässt sich die Ortslinie einer Parabel erzeugen. Abschließend folgt eine Aufgabe, die es ermöglicht, eine Parabel mit einem Scheitel verschieden von (0,0) zu zeichnen. Dazu muss der Scheitel zunächst berechnet werden.

8. Parabeln aus flächengleichen Dreiecken

Auch die Ortskurve des Höhenschnittpunkts P in Dreiecken, deren Grundlinie g und Höhe h auf g konstant sind, ist eine Parabel. Schülerinnen und Schüler entdecken dies anhand einer ersten dynamischen Konstruktion. Zudem lassen sich bei variablem h Parabeln mit unterschiedlicher Öffnung erzeugen. Über die Betrachtung ähnlicher Dreiecke ist es möglich, die Gleichung der Ortskurve von P zu bestimmen. Eine weitere Aufgabe ermöglicht es, durch Variieren der Höhe eine (verschobene) Normalparabel zu erzeugen.

Autor
Avatar Dr. Wolfgang Neidhardt

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