Unterrichtsverlauf 7. Stunde

In der letzten Stunde geht es um die Untersuchung der Nullstellen ganzrationaler Funktionen mit wxMaxima. Das Ergebnis wird im Nullstellensatz zusammengefasst.

7. Stunde

Verallgemeinerung auf alle ganzrationalen Funktionen

Die Besprechung der Hausaufgabe zeigt, dass die Linearfaktorzerlegung einer Funktion sehr einfach die Nullstellen erkennen lässt, die man der ausmultiplizierten Form nicht ansieht.

wxMaxima

Mit Hilfe von wxMaxima (CAS) lassen sich auch ganzrationale Funktionen mit einem Grad

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in die Linearfaktorzerlegung bringen. Hierzu dient der Befehl factor(Term).

Aufgaben

Stelle die Funktionen jeweils als Linearfaktorzerlegung dar und bestimme die Nullstellen. Benutze den factor(Funktionsterm)-Befehl:

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Es sollte anhand der Beispiele den Schülerinnen und Schülern möglich sein, die Erkenntnis zu formulieren, dass eine ganzrationale Funktion n. Grades höchstens n Nullstellen besitzen kann, da nicht mehr als n Linearfaktoren zur Verfügung stehen. Sollten weitere Beispiele erforderlich sein, kann die Lehrkraft mithilfe des expand-Befehls beliebige weitere Beispiele generieren. Zum Beispiel liefert der folgende Befehl den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3. Grades mit den Nullstellen 1, 2 und 3:

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Nun bleibt die Frage, ob denn weniger als n Nullstellen möglich sind. Mit der im vorigen Absatz beschriebenen Methode generieren wir einige ganzrationale Funktionen, die den Sachverhalt klären:

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Zusammenfassung

Die Zusammenfassung der Stunde bildet der Nullstellensatz:

Eine ganzrationale Funktion n. Grades kann bis zu n Nullstellen besitzen.

Hausaufgabe

Als Hausaufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler Funktionen mit folgenden Eigenschaften finden:

 

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Wenn die Funktionsgleichung gefunden ist, soll der Graph mit GeoGebra gezeichnet und die gefundenen Nullstellen markiert werden. Ein Vergleich der Nullstellen in GeoGebra mit der Aufgabenstellung ist erforderlich.

Hinweis

Um die Stunden nicht zu sehr mit Frontalunterricht zu belasten, sollten die Stunden als Arbeitsaufträge formuliert sein. Als Abschluss der Unterrichtseinheit empfiehlt sich die Anfertigung eines Dossiers zum Thema Nullstellensatz. Die Schülerinnen und Schüler sollten animiert werden, die im Netbook vorhandene Textverarbeitung (im Regelfall OpenOffice.org) zu verwenden.

Autor
Avatar Dr. Karl Sarnow

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