Unterrichtsverlauf 4. bis 6. Stunde

Die Nullstellen einer Gleichung 3. Grades werden mit wxMaxima untersucht und anschließend mit dem konventionellen Ansatz begründet. In der 6. Stunde liegt der Schwerpunkt auf der Begründung der Linearfaktorzerlegung.

4. Unterrichtsstunde

Problematisieren

Zu Beginn wird das Arbeitsergebnis der dritten Stunde aufgerufen und die Hausaufgaben der vergangenen Stunde besprochen. Es stellt sich heraus, dass jeder und jede etwas abweichende Koordinaten für verschiedene Punkte haben. Als Lösungsvorschlag wird angeregt, eine exakte Definition aufzustellen, die durch "Rechnung" gefunden wird.

  • Definition Nullstellen:
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  • Definition Hochpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte kleiner.
  • Definition Tiefpunkt: Rechts und links von diesem Punkt sind die Funktionswerte größer.

Fokussieren auf Nullstellen

In dieser Stunde liegt der Fokus auf Nullstellen. Die Besprechung von Hoch- und Tiefpunkt sollte für spätere Stunden zurückgestellt werden. Bisher wurden nur Gleichungen 1. und 2. Grades gelöst. In diesem Fall steht die Lösung einer Gleichung 3. Grades auf dem Unterrichtsplan. Verschiedene Lösungsansätze sind hier möglich:

  • Konventioneller Ansatz mit Versuch der Reduktion auf bekannte Lösungsverfahren (Ausklammern von x)
  • CAS-Ansatz. Wichtig: wenn der CAS-Ansatz benutzt wird, muss der konventionelle Ansatz nachgeschoben werden, damit die Hintergrundinformation nicht verloren geht. Dazu starten die Schülerinnen und Schüler das Programm wxMaxima. Dann lösen sie eine Gleichung dritten Grades mit dem Befehl:
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  • Das Ergebnis ist zu interpretieren:
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  • Korrektur der Punktkoordinaten für die Nullstellen (Punkte A, C, E) im Arbeitsergebnis von GeoGebra und Abspeichern der Datei.
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Hausaufgabe

Als Hausaufgabe ist denkbar, dass die Schülerinnen und Schüler ein Dossier über den Inhalt der letzten Stunden schreiben.

5. Unterrichtsstunde

Vertiefung der Ergebnisse der bisherigen Stunden

Nun geht es darum, die Ergebnisse der bisherigen Stunden zu vertiefen. Das Ergebnis der Nullstellenbestimmung mit dem CAS soll durch den konventionellen Ansatz begründet werden:

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Das Problem dabei ist: Die Reduktion klappt nur, wenn x ausklammerbar ist. Mithilfe des CAS klappt es bei ganzrationalen Funktionen sehr häufig, muss aber überprüft werden, wenn man dem System nicht blind vertrauen will. Aber auch CAS geben auf. Ein Beispiel ist hier zu sehen:

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Die Bestätigung der 2. und 3. Lösung (x²-5x+5=0) erfolgt durch die pq-Formel:

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Abschließend erfolgt die Überprüfung der Äquivalenz von CAS-Lösung und pq-Formel durch Termumformung.

Hausaufgabe

Als Hausaufgabe sollen die Lernenden für zwei Funktionen die Nullstellen mit einem CAS herleiten und durch konventionelles Vorgehen überprüfen:

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6. Unterrichtsstunde

Begründung der Linearfaktorzerlegung

In dieser Stunde geht es um die Begründung der Linearfaktorzerlegung. Die Hausaufgaben werden gemeinsam überprüft. Gegebenenfalls kann ein Schüler oder eine Schülerin die eigene Arbeit am Beamer zeigen. Die konventionelle Nullstellenbestimmung wird die folgende Gleichungskette liefern, eventuell nicht ganz vollständig. Besonders der letzte Term ist im Folgenden wichtig.

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Einsetzen der gefundenen Nullstellen:

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Überprüfung an der zweiten Hausaufgabe:

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Hier fehlt der letzte Schritt. In wxMaxima wird der Klammerterm nun zerlegt:

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Das Ergebnis lautet:

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Also gilt:

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Auch hier gilt die Analogie mit den Nullstellen:

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Zusammenfassen der Arbeit

Für die gefundenen ganzrationalen Funktionen 3. Grades gilt: Es gibt drei Nullstellen.

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Sind a und b gefunden, lässt sich die Funktion f als Produkt dreier Faktoren darstellen:

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Die drei Faktoren heißen Linearfaktoren. Das Produkt der drei Linearfaktoren heißt Linearfaktorzerlegung der Funktion f.

Hausaufgabe

Bestimme die Nullstellen folgender drei Funktionen und gib die Funktionsgleichung ohne Linearfaktorzerlegung an.

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Autor
Avatar Dr. Karl Sarnow

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