Naturwissenschaften

Exponentialfunktionen und die eulersche Zahl e

Veröffentlicht am 18.08.2009
  • Sekundarstufe II
  • 3-5 Stunden
  • Arbeitsblatt interaktiv
  • 1 Arbeitsmaterial

Die Schülerinnen und Schüler entdecken interaktiv die analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktionen.

Didaktisch-methodischer Kommentar

Selbstgesteuertes Lernen

Die Sequenz besteht aus fünf HTML-Dokumenten, in die jeweils eine GeoGebra-Anwendung als Java Applet eingebettet ist. Zur Bearbeitung genügt ein Webbrowser mit aktiviertem Java. Die Schülerinnen und Schüler arbeiten allein oder zu zweit am Computer die Sequenz durch und bestimmen dabei das Lerntempo selbst. Ergänzend kann das Material auch auf eine Lernplattform wie lo-net² gestellt und zu Hause (weiter-)bearbeitet werden.

Modifizierbare Arbeitsblätter

Die Seiten sind untereinander verlinkt. Die vorangegangenen Ergebnisse werden jeweils zu Beginn einer Seite kurz zusammengefasst, was unter Umständen die Kontrolle des Lernfortschritts und der Selbstständigkeit der Arbeit erschwert. Es empfiehlt sich, zusätzliche Aufgaben mit weiteren Anwendungsbeispielen als Ergänzung einzuflechten. Dazu können bei Bedarf die im Download-Paket enthaltenen GeoGebra-Dateien modifiziert werden.

Optionale Beweise

Die beiden Beweisaufgaben enthalten in schülergerechten Häppchen die Rückführung der Ableitungsregeln für die Exponentialfunktionen auf die Grenzwertaussage(Die Existenz einer Zahl e mit dieser Eigenschaft wird nicht bewiesen.) Die Behandlung der Beweise muss von den Gegebenheiten des Kurses abhängig gemacht werden. Die Lösung erhält man jeweils durch Anklicken des Links "Hilfe" als PDF-Dokument. Wer Wert auf eine selbstständige Erarbeitung der Beweise legt, sollte diese Dateien zunächst sperren.

Download

Vermittelte Kompetenzen

Die Schülerinnen und Schüler sollen

  • Zerfalls- beziehungsweise Wachstumsprozesse mit geometrischer Progression numerisch beherrschen und durch eine auf dem Zahlenkontinuum definierte Funktion modellieren.
  • die lokale Änderungsrate f '(x) grafisch bestimmen und ihre Proportionalität zum Bestand f(x) entdecken.
  • diesen Sachverhalt vom Eingangsbeispiel auf die gesamte betrachtete Funktionenklasse verallgemeinern (und gegebenenfalls beweisen).
  • die Abhängigkeit der Konstanten k = f '(x)/f(x) von der Basis a numerisch und analytisch beschreiben (gegebenenfalls mit Beweis).
  • die Tangentensteigung als Grenzwert von Sekantensteigungen enaktiv (durch Handlung) erfahren und das Verständnis ihrer Bedeutung als lokale Änderungsrate vertiefen.
  • die Zahl e als "normierte" Basis zu k = 1 numerisch bestimmen und die wichtigsten Eigenschaften von e kennen.

Kurzinformation zum Unterrichtsmaterial

ThemaExponentialfunktionen und die eulersche Zahl e
AutorDr. Hans-Joachim Feldhoff
FachMathematik
ZielgruppeJahrgangsstufe 12 (Grund- oder Leistungskurs)
Zeitraum3-5 Stunden
Technische Voraussetzungenje ein Computer für 1-2 Lernende
SoftwareWebbrowser mit aktiviertem Java, ergänzend (optional) das kostenlos erhältliche GeoGebra
Formel

Arbeitsaufträge für Einstieg und Erarbeitungsphasen

  • Lest M1 und unterstreicht im Text die Anweisungen an Leser, die in Deutschland arbeiten wollten. Warum wurden diese Anweisungen gegeben?
  • Lest M2 genau durch und spielt die Situation nach. Überlegt, wer welche Rolle übernimmt, welche "Vorgaben" der Text macht. Ihr könnt eigene Ideen einbringen, aber sollt berücksichtigen, was ihr aus M 1 und M2 wisst.
  • Lest den Text M 4 und überlegt, warum sich die junge Türkin vor dem weihnachtlichen Schaufenster hat fotografieren lassen (siehe M 3).
  • Welche Gründe, vermutet ihr, hat Birsen dafür, ihr Geld für die Familie in der Türkei auszugeben? Welche Geschenke würdet ihr an ihrer Stelle eurer Familie machen? Warum?

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Avatar Dr. Hans-Joachim Feldhoff

ist Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik. Er war bis zum Sommersemester 2009 am Studienkolleg der Universität zu Köln tätig und unterrichtet jetzt an der Europaschule in Kerpen. Er ist außerdem Lehrbeauftragter für Didaktik der Mathematik an der Universität zu Köln, Mitbegründer der Kölner Mathe-AG und Mitglied in verschiedenen Ausschüssen des Bundeswettbewerbs Mathematik.

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